Реши
Дана задача: найти выражение \(\frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2}\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(2x^2 - 3x - 11 = 0\).
Нахождение корней уравнения:
Уравнение \(2x^2 - 3x - 11 = 0\) является квадратным. Для нахождения корней используем формулу:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -11\).
Сначала находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97 \]
Теперь находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{97}}{4} \]
Корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{97}}{4}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{97}}{4}\).
Нахождение значения выражения:
Требуется найти \(\frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2}\).
Используем свойства корней квадратного уравнения и теорему Виета:
\[ x_1 + x_2 = \frac{3}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{11}{2} \]
Подставив значения \(1 + x_1 = 1 + \frac{3 + \sqrt{97}}{4}\) и \(1 + x_2 = 1 + \frac{3 - \sqrt{97}}{4}\), упрощаем:
\[ 1 + x_1 = \frac{4 + 3 + \sqrt{97}}{4} = \frac{7 + \sqrt{97}}{4} \]
\[ 1 + x_2 = \frac{4 + 3 - \sqrt{97}}{4} = \frac{7 - \sqrt{97}}{4} \]
Подставляем в выражение:
\[ \frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2} = \frac{\frac{3 - \sqrt{97}}{4}}{\frac{7 + \sqrt{97}}{4}} + \frac{\frac{3 + \sqrt{97}}{4}}{\frac{7 - \sqrt{97}}{4}} \]
Упростим:
\[ = \frac{3 - \sqrt{97}}{7 + \sqrt{97}} + \frac{3 + \sqrt{97}}{7 - \sqrt{97}} \]
Чтобы объединить дроби, найдём общий знаменатель:
\[ (7 + \sqrt{97})(7 - \sqrt{97}) = 7^2 - (\sqrt{97})^2 = 49 - 97 = -48 \]
Подставляем в общее выражение:
\[ = \frac{(3 - \sqrt{97})(7 - \sqrt{97}) + (3 + \sqrt{97})(7 + \sqrt{97})}{-48} \]
Упростим числитель:
\[ = [(3 - \sqrt{97})(7 - \sqrt{97})] + [(3 + \sqrt{97})(7 + \sqrt{97})] \]
Раскрываем скобки:
\[ = [21 - 3\sqrt{97} - 7\sqrt{97} + 97] + [21 + 3\sqrt{97} + 7\sqrt{97} + 97] \]
Заметим, что \(-3\sqrt{97} + 3\sqrt{97}\) и \(-7\sqrt{97} + 7\sqrt{97}\) взаимно уничтожаются:
\[ = 21 + 97 + 21 + 97 = 236 \]
Получаем:
\[ = \frac{236}{-48} = -\frac{59}{12} \]
Итак, значение выражения равно \(-\frac{59}{12}\).
