Реши

Дана задача: найти выражение \(\frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2}\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(2x^2 - 3x - 11 = 0\). 1. **Нахождение корней уравнения:** Уравнение \(2x^2 - 3x - 11 = 0\) является квадратным. Для нахождения корней используем формулу: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -11\). Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97 \] Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{97}}{4} \] Корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{97}}{4}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{97}}{4}\). 2. **Нахождение значения выражения:** Требуется найти \(\frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2}\). Используем свойства корней квадратного уравнения и теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = \frac{3}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{11}{2} \] Подставив значения \(1 + x_1 = 1 + \frac{3 + \sqrt{97}}{4}\) и \(1 + x_2 = 1 + \frac{3 - \sqrt{97}}{4}\), упрощаем: \[ 1 + x_1 = \frac{4 + 3 + \sqrt{97}}{4} = \frac{7 + \sqrt{97}}{4} \] \[ 1 + x_2 = \frac{4 + 3 - \sqrt{97}}{4} = \frac{7 - \sqrt{97}}{4} \] Подставляем в выражение: \[ \frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2} = \frac{\frac{3 - \sqrt{97}}{4}}{\frac{7 + \sqrt{97}}{4}} + \frac{\frac{3 + \sqrt{97}}{4}}{\frac{7 - \sqrt{97}}{4}} \] Упростим: \[ = \frac{3 - \sqrt{97}}{7 + \sqrt{97}} + \frac{3 + \sqrt{97}}{7 - \sqrt{97}} \] Чтобы объединить дроби, найдём общий знаменатель: \[ (7 + \sqrt{97})(7 - \sqrt{97}) = 7^2 - (\sqrt{97})^2 = 49 - 97 = -48 \] Подставляем в общее выражение: \[ = \frac{(3 - \sqrt{97})(7 - \sqrt{97}) + (3 + \sqrt{97})(7 + \sqrt{97})}{-48} \] Упростим числитель: \[ = [(3 - \sqrt{97})(7 - \sqrt{97})] + [(3 + \sqrt{97})(7 + \sqrt{97})] \] Раскрываем скобки: \[ = [21 - 3\sqrt{97} - 7\sqrt{97} + 97] + [21 + 3\sqrt{97} + 7\sqrt{97} + 97] \] Заметим, что \(-3\sqrt{97} + 3\sqrt{97}\) и \(-7\sqrt{97} + 7\sqrt{97}\) взаимно уничтожаются: \[ = 21 + 97 + 21 + 97 = 236 \] Получаем: \[ = \frac{236}{-48} = -\frac{59}{12} \] Итак, значение выражения равно \(-\frac{59}{12}\).