Реши
Давайте решим задачу.
Нам дано квадратное уравнение:
\[ 2x^2 - 3x - 11 = 0. \]
Однако решать уравнение не нужно. Мы должны выразить сумму:
\[ \frac{x_2}{1+x_1} + \frac{x_1}{1+x_2}, \]
где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения.
Шаг 1: Используем теоремы Виета
По теоремам Виета для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) верно:
- Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}\).
- Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{11}{2}\).
Шаг 2: Найдем выражение
Наша задача — найти:
\[ \frac{x_2}{1+x_1} + \frac{x_1}{1+x_2}. \]
Шаг 3: Преобразуем выражение
Общим знаменателем является \((1 + x_1)(1 + x_2)\). Преобразуем выражение:
\[ \frac{x_2(1 + x_2) + x_1(1 + x_1)}{(1 + x_1)(1 + x_2)}. \]
Раскрываем скобки в числителе:
\[ x_2 + x_2^2 + x_1 + x_1^2. \]
Используем теоремы Виета для упрощения:
\[ x_1 + x_2 = \frac{3}{2}, \] \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{11}{2}\right). \]
Вычислим:
\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} + \frac{22}{2} = \frac{9}{4} + \frac{44}{4} = \frac{53}{4}. \]
Подставляем в числитель:
\[ x_1 + x_2 + x_1^2 + x_2^2 = \frac{3}{2} + \frac{53}{4} = \frac{6}{4} + \frac{53}{4} = \frac{59}{4}. \]
Знаменатель:
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) = 1 + x_1 + x_2 + x_1x_2 = 1 + \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = \frac{7}{2}. \]
Таким образом, вся сумма:
\[ \frac{\frac{59}{4}}{\frac{7}{2}} = \frac{59}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{118}{28} = \frac{59}{14}. \]
Итак, окончательный ответ:
\[ \frac{59}{14}. \]
