Расстояние между пунктами A и Б равно 63  км. Из пункта А в Б по реке одновременно отправились плот и моторная лодка. Моторная лодка прибыла в пункт Б, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 16  км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2  км/ч.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные формулы для расчета расстояния, времени и скорости. Давайте разберем ситуацию по шагам. 1. **Определения и данные**: - Расстояние между пунктами A и B: \( S = 63 \) км. - Скорость течения реки: \( v_{т} = 2 \) км/ч. - Расстояние, пройденное плотом: \( S_{плот} = 16 \) км. - Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как \( v_{м} \) км/ч. 2. **Скорости**: - Скорость моторной лодки по течению реки: \( v_{м} + v_{т} = v_{м} + 2 \) км/ч. - Скорость моторной лодки против течения: \( v_{м} - v_{т} = v_{м} - 2 \) км/ч. 3. **Время в пути**: - Обозначим время, которое моторная лодка затратила на путь от A до B, как \( t_1 \). Тогда: \[ t_1 = \frac{S}{v_{м} + 2} = \frac{63}{v_{м} + 2} \] - Лодка вернулась из B в A, и время возврата обозначим как \( t_2 \): \[ t_2 = \frac{S}{v_{м} - 2} = \frac{63}{v_{м} - 2} \] 4. **Время плота**: - Плот проплыл 16 км, и его скорость равна скорости течения реки (так как он плывет только по течению): \[ t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{т}} = \frac{16}{2} = 8 \text{ часов} \] 5. **Общее время для моторной лодки**: - Моторная лодка провела в пути время \( t_1 + t_2 \), и это время равно времени, которое плавал плот: \[ t_1 + t_2 = 8 \] Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{63}{v_{м} + 2} + \frac{63}{v_{м} - 2} = 8 \] 6. **Упрощение уравнения**: Умножим всё уравнение на \( (v_{м} + 2)(v_{м} - 2) \): \[ 63(v_{м} - 2) + 63(v_{м} + 2) = 8(v_{м}^2 - 4) \] Упрощая: \[ 63v_{м} - 126 + 63v_{м} + 126 = 8v_{м}^2 - 32 \] \[ 126v_{м} = 8v_{м}^2 - 32 \] Переносим все в одну сторону: \[ 8v_{м}^2 - 126v_{м} - 32 = 0 \] 7. **Решаем квадратное уравнение**: Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v_{м} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{126 \pm \sqrt{126^2 - 4 * 8 * (-32)}}{2 * 8} \] Теперь вычислим: \[ D = 126^2 + 1024 = 15876 + 1024 = 16800 \] \[ v_{м} = \frac{126 \pm \sqrt{16800}}{16} \] \[ \sqrt{16800} \approx 129.7 \] Подставляем это обратно: \[ v_{м} = \frac{126 \pm 129.7}{16} \] Вычисляем два корня: 1. \( v_{м} = \frac{255.7}{16} \approx 15.98 \) км/ч (подходящий корень). 2. \( v_{м} = \frac{-3.7}{16} \) (не подходим, так как скорость не может быть отрицательной). 8. **Ответ**: Таким образом, скорость моторной лодки в неподвижной воде составляет примерно \( 16 \) км/ч.