В треугольнике  M N K MNK  ∠ M = 90 ° ∠M=90°,  ∠ N = 45 ° ∠N=45°,  M N = 24 2 MN=24 2 . Чему равна гипотенуза этого треугольника?

Рассмотрим треугольник \( \triangle MNK \), в котором угол \( \angle M \) равен \( 90^\circ \), угол \( \angle N \) равен \( 45^\circ \), а длина одной из катетов \( MN \) составляет \( 24 \). 1. **Определим угол \( \angle K \):** Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Следовательно, угол \( K \) можно найти следующим образом: \[ \angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. \] 2. **Понять, что это за треугольник:** Поскольку в треугольнике \( \triangle MNK \) два угла равны \( 45^\circ \), это равнобедренный прямоугольный треугольник. Это значит, что катеты \( MN \) и \( MK \) равны. 3. **Найдем второй катет \( MK \):** В равнобедренном прямоугольном треугольнике длины катетов равны, поэтому: \[ MK = MN = 24. \] 4. **Найдем гипотенузу \( NK \) с помощью теоремы Пифагора:** Для нахождения гипотенузы \( NK \) используем теорему Пифагора, которая гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2, \] где \( c \) — гипотенуза, а \( a \) и \( b \) — катеты. Подставим известные значения: \[ NK^2 = MN^2 + MK^2 = 24^2 + 24^2. \] Посчитаем: \[ NK^2 = 576 + 576 = 1152. \] Теперь найдём \( NK \): \[ NK = \sqrt{1152}. \] 5. **Упростим корень:** Можно разложить \( 1152 \): \[ 1152 = 576 \times 2 = 24^2 \times 2. \] Следовательно, \[ NK = \sqrt{24^2 \times 2} = 24\sqrt{2}. \] Таким образом, гипотенуза \( NK \) равна \( 24\sqrt{2} \). Если прикинуть это значение, то \( \sqrt{2} \) приблизительно равен \( 1.414 \), значит: \[ NK \approx 24 \times 1.414 \approx 33.94. \] **Ответ:** Гипотенуза треугольника \( \triangle MNK \) равна \( 24\sqrt{2} \) (приблизительно 33.94).