Для решения данной задачи будем использовать свойства правильного треугольника и формулы, связанные с радиусом вписанной окружности.
Шаг 1: Понять свойства правильного треугольника
В правильном треугольнике все стороны равны, а также все углы равны (по 60 градусов). Обозначим длину стороны правильного треугольника как ( a ).
Шаг 2: Формула радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности ( r ) правильного треугольника можно выразить через длину стороны ( a ):
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Согласно условию задачи, радиус вписанной окружности равен 27 см:
[
\frac{a \sqrt{3}}{6} = 27
]
Шаг 3: Найти длину стороны треугольника
Теперь мы можем найти длину стороны треугольника ( a ). Умножим обе стороны уравнения на 6:
[
a \sqrt{3} = 27 \cdot 6
]
[
a \sqrt{3} = 162
]
Теперь разделим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{162}{\sqrt{3}}
]
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{162 \sqrt{3}}{3} = 54 \sqrt{3}
]
Шаг 4: Найти высоту треугольника
Высота ( h ) правильного треугольника выражается через длину стороны ( a ):
[
h = \frac{a \sqrt{3}}{2}
]
Подставим найденное значение ( a = 54 \sqrt{3} ) в формулу для высоты:
[
h = \frac{54 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{54 \cdot 3}{2} = \frac{162}{2} = 81
]
Ответ
Таким образом, высота правильного треугольника равна 81 см.
