3. Радиус вписаннойокружности в правильный треугольник равна 27см. Найти высоту этого треугольника.

Для решения данной задачи будем использовать свойства правильного треугольника и формулы, связанные с радиусом вписанной окружности.

Шаг 1: Понять свойства правильного треугольника

В правильном треугольнике все стороны равны, а также все углы равны (по 60 градусов). Обозначим длину стороны правильного треугольника как \( a \).

Шаг 2: Формула радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности \( r \) правильного треугольника можно выразить через длину стороны \( a \):

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Согласно условию задачи, радиус вписанной окружности равен 27 см:

\[ \frac{a \sqrt{3}}{6} = 27 \]

Шаг 3: Найти длину стороны треугольника

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника \( a \). Умножим обе стороны уравнения на 6:

\[ a \sqrt{3} = 27 \cdot 6 \]

\[ a \sqrt{3} = 162 \]

Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\[ a = \frac{162}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ a = \frac{162 \sqrt{3}}{3} = 54 \sqrt{3} \]

Шаг 4: Найти высоту треугольника

Высота \( h \) правильного треугольника выражается через длину стороны \( a \):

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Подставим найденное значение \( a = 54 \sqrt{3} \) в формулу для высоты:

\[ h = \frac{54 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{54 \cdot 3}{2} = \frac{162}{2} = 81 \]

Ответ

Таким образом, высота правильного треугольника равна 81 см.