Для решения этой задачи давайте обозначим количество литров воды, которое пропускает вторая труба за минуту, как ( x ) (литров в минуту).
Тогда первая труба пропускает на 16 литров меньше, чем вторая, то есть её скорость заполнения равна ( x - 16 ) (литров в минуту).
Теперь обратим внимание на время, которое требуется каждой трубе для заполнения резервуара объёмом 105 литров.
Время, которое требуется второй трубе:
[
\text{Время}_2 = \frac{105}{x}
]
Это указывает, что заполняемое количество (105 литров) делится на пропускную способность второй трубы ( x ) литров в минуту.
Время, которое требуется первой трубе:
[
\text{Время}_1 = \frac{105}{x - 16}
]
Здесь мы используем пропускную способность первой трубы ( x - 16 ) литров в минуту.
Согласно условию задачи, вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем первая, то есть:
[
\text{Время}_1 - \text{Время}_2 = 4
]
Подставляем выражения для времени:
[
\frac{105}{x - 16} - \frac{105}{x} = 4
]
Теперь решим данное уравнение. Умножим обе стороны на ( x(x - 16) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
105x - 105(x - 16) = 4x(x - 16)
]
Упрощаем уравнение:
[
105x - 105x + 1680 = 4x^2 - 64x
]
Это упрощается до:
[
1680 = 4x^2 - 64x
]
Переносим все в одну сторону:
[
4x^2 - 64x - 1680 = 0
]
Теперь упростим это уравнение, деля на 4:
[
x^2 - 16x - 420 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936
]
Корни уравнения находим по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x = \frac{16 \pm \sqrt{1936}}{2}
]
Вычисляем корень:
[
\sqrt{1936} = 44
]
Таким образом, у нас два корня:
[
x_1 = \frac{16 + 44}{2} = 30, \quad x_2 = \frac{16 - 44}{2} = -14
]
Поскольку количество литров не может быть отрицательным, отбрасываем ( x_2 ).
Таким образом, вторая труба пропускает 30 литров воды в минуту.
Ответ:
Вторая труба пропускает 30 литров воды в минуту.
