решить
Давайте разберем каждую задачу по очереди и решим их с объяснениями.
I. Вычислить интегралы:
- \(\int 5x^4 \, dx\)
Для интегрирования степенной функции \(x^n\), используем правило:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.
Применим это правило к нашему интегралу:
\[ \int 5x^4 \, dx = 5 \int x^4 \, dx = 5 \left( \frac{x^{4+1}}{4+1} \right) + C = 5 \left( \frac{x^5}{5} \right) + C = x^5 + C \]
- \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\)
Перепишем функцию под интегралом в виде степени:
\[ \int x^{-3} \, dx \]
Теперь применим правило интегрирования степенной функции:
\[ \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C \]
- \(\int 5 \cos 2x \, dx\)
Для интегралов, содержащих тригонометрические функции, мы применяем правило интегрирования косинуса:
\[ \int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C \]
Применяем это к нашему интегралу:
\[ \int 5 \cos 2x \, dx = 5 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + C = \frac{5}{2} \sin(2x) + C \]
II. Скорость движения точки
Задан закон движения \(y = 8 + 2t - 3t^2 (\text{м})\). Нужно найти путь, пройденный точкой за первую секунду.
Для нахождения пути используем интеграл скорости. Найдем скорость:
\(v(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8 + 2t - 3t^2)\)
\[ v(t) = 0 + 2 - 6t = 2 - 6t \]
Теперь путь, пройденный точкой, — это интеграл скорости от 0 до 1:
\[ s = \int_0^1 (2 - 6t) \, dt \]
Вычесляем интеграл:
\[ s = \left[ 2t - 3t^2 \right]_0^1 = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1^2) - (2 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2) \]
\[ s = (2 - 3) - (0) = -1 \, \text{м} \]
Так как задача спрашивает про путь (абсолютное значение пройденного расстояния), берем модуль:
\[s = 1 \, \text{м}\]
III. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
- \(y = x^2 + 1\) и \(y = 2x\)
Для вычисления площади найдем точки пересечения:
Приравниваем выражения:
\[ x^2 + 1 = 2x \]
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Это квадрат разности \((x-1)^2 = 0 \), так что \(x = 1\).
Теперь найдем области под каждой линией от 0 до 1:
\[ \text{Площадь} = \int_0^1 (2x - (x^2 + 1)) \, dx = \int_0^1 (2x - x^2 - 1) \, dx \]
\[ = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - x \right]_0^1 = \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} - 1 \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) \]
\[ = (1 - \frac{1}{3} - 1) = -\frac{1}{3} \]
Принимаем модуль:
\[ \text{Площадь} = \frac{1}{3} \]
- \(y = x^3\) и \(y = 2x\)
Найдем точки пересечения:
\[ x^3 = 2x \]
\[ x(x^2 - 2) = 0 \]
Решения: \(x = 0\) и \(x = \sqrt{2}\).
Вычислим площадь:
\[ \text{Площадь} = \int_0^{\sqrt{2}} (2x - x^3) \, dx \]
\[ = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\sqrt{2}} = \left( (\sqrt{2})^2 - \frac{(\sqrt{2})^4}{4} \right) \]
\[ = \left( 2 - \frac{4}{4} \right) = 2 - 1 = 1 \]
Таким образом, площади равны:
- \(\frac{1}{3}\) квадратных единиц.
- \(1\) квадратная единица.
