объясни Пошагово пример 4х⁴-9х²+2=0 без замены переменной

Решим уравнение \( 4x^4 - 9x^2 + 2 = 0 \) пошагово, не используя замену переменной.

Шаг 1: Распознавание уравнения

Это уравнение является многочленом четвертой степени. Оно имеет вид \( Ax^4 + Bx^2 + C = 0 \), где \( A = 4 \), \( B = -9 \) и \( C = 2 \). Мы можем решить его, рассматривая его как квадратное уравнение относительно \( x^2 \).

Шаг 2: Применение формулы для квадратных уравнений

Рассмотрим \( x^2 \) как новую переменную (но не будем явно заменять её). Уравнение можно переписать в виде:

\[ 4y^2 - 9y + 2 = 0 \]

где \( y = x^2 \). Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

\[ y = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \]

где \( A = 4 \), \( B = -9 \), \( C = 2 \).

Шаг 3: Подсчет дискриминанта

Сначала найдем дискриминант \( D \):

\[ D = B^2 - 4AC = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 \]

Шаг 4: Нахождение корней

Теперь подставим дискриминант в формулу:

\[ y = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 7}{8} \]

Теперь найдем два корня \( y \):

1. \( y_1 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2 \)
2. \( y_2 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

Шаг 5: Возвращаемся к \( x \)

Теперь вспомним, что \( y = x^2 \). Подставим найденные значения:

1. Для \( y_1 = 2 \): \[ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \]

2. Для \( y_2 = \frac{1}{4} \): \[ x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2} \]

Шаг 6: Итоговые корни

Таким образом, у нас есть четыре корня уравнения:

\[ x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = -\sqrt{2}, \quad x_3 = \frac{1}{2}, \quad x_4 = -\frac{1}{2} \]

Ответ

Корни уравнения \( 4x^4 - 9x^2 + 2 = 0 \) составляют:

\[ x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \]

Теперь у вас есть подробное пошаговое решение! Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!