Чтобы найти косинус угла между векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ), необходимо воспользоваться формулой, связывающей косинус угла с векторами. Косинус угла между двумя векторами определяется как:
[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{q}|}
]
где ( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} ) — скалярное произведение векторов ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ), ( |\mathbf{p}| ) и ( |\mathbf{q}| ) — длины (модuli) векторов.
Шаг 1: Найдем скалярное произведение
Скалярное произведение ( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} ) вычисляется по формуле:
[
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = p_1 \cdot q_1 + p_2 \cdot q_2
]
Подставим значения:
- ( \mathbf{p} = (33, -56) )
- ( \mathbf{q} = (-10, -24) )
Тогда:
[
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 33 \cdot (-10) + (-56) \cdot (-24)
]
Вычислим:
[
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = -330 + 1344 = 1014
]
Шаг 2: Найдем длины векторов
Длина вектора ( \mathbf{p} ) рассчитывается как:
[
|\mathbf{p}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{33^2 + (-56)^2}
]
Вычисляем:
[
|\mathbf{p}| = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65
]
Теперь найдем длину вектора ( \mathbf{q} ):
[
|\mathbf{q}| = \sqrt{q_1^2 + q_2^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-24)^2}
]
Вычисляем:
[
|\mathbf{q}| = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26
]
Шаг 3: Находим косинус угла
Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{q}|} = \frac{1014}{65 \cdot 26}
]
Вычислим знаменатель:
[
65 \cdot 26 = 1690
]
Теперь можно найти косинус угла:
[
\cos(\theta) = \frac{1014}{1690} \approx 0.600
]
Ответ
Косинус угла между векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) равен примерно 0.600.
