найдите косинус угла между векторами p и q если известно, что p (33;-56) и q (-10; -24)

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \), необходимо воспользоваться формулой, связывающей косинус угла с векторами. Косинус угла между двумя векторами определяется как:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{q}|} \]

где \( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \) — скалярное произведение векторов \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \), \( |\mathbf{p}| \) и \( |\mathbf{q}| \) — длины (модuli) векторов.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение

Скалярное произведение \( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = p_1 \cdot q_1 + p_2 \cdot q_2 \]

Подставим значения:

• \( \mathbf{p} = (33, -56) \)
• \( \mathbf{q} = (-10, -24) \)

Тогда:

\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 33 \cdot (-10) + (-56) \cdot (-24) \]

Вычислим:

\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = -330 + 1344 = 1014 \]

Шаг 2: Найдем длины векторов

Длина вектора \( \mathbf{p} \) рассчитывается как:

\[ |\mathbf{p}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{33^2 + (-56)^2} \]

Вычисляем:

\[ |\mathbf{p}| = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65 \]

Теперь найдем длину вектора \( \mathbf{q} \):

\[ |\mathbf{q}| = \sqrt{q_1^2 + q_2^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-24)^2} \]

Вычисляем:

\[ |\mathbf{q}| = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \]

Шаг 3: Находим косинус угла

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{q}|} = \frac{1014}{65 \cdot 26} \]

Вычислим знаменатель:

\[ 65 \cdot 26 = 1690 \]

Теперь можно найти косинус угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{1014}{1690} \approx 0.600 \]

Ответ

Косинус угла между векторами \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \) равен примерно 0.600.