основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катетом 6 и с острым углом 45°.объем призмы равен 108см^2.найти площадь полной поверхности призмы

Чтобы решить задачу о прямой призме, основание которой является прямоугольный треугольник, мы сначала найдем необходимые параметры и затем вычислим площадь полной поверхности.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы

Основание нашей призмы — это прямоугольный треугольник с одним катетом, равным 6 см, и острым углом в 45°. Поскольку острый угол равен 45°, это означает, что второй катет также равен 6 см (в прямоугольном треугольнике с углами 45°-45°-90° оба катета равны).

Формула для вычисления площади \(S\) прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \(a\) и \(b\) — катеты.

Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \, \text{см}^2 \]

Шаг 2: Найдем высоту призмы

Объем \(V\) прямой призмы рассчитывается по формуле: \[ V = S \cdot h \] где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота призмы.

Из условия мы знаем, что объем призмы равен 108 см². Мы можем найти высоту \(h\): \[ h = \frac{V}{S} = \frac{108}{18} = 6 \, \text{см} \]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности \(P\) прямой призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности: \[ P = 2S + P_{бок} \]

Площадь боковой поверхности определяется как произведение периметра основания и высоты призмы. Периметр \(P_{осн}\) прямоугольного треугольника: \[ P_{осн} = a + b + c \] где \(c\) — гипотенуза. Для нахождения гипотенузы используем теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь находим периметр: \[ P_{осн} = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: \[ P_{бок} = P_{осн} \cdot h = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 \] \[ P_{бок} = 72 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Шаг 4: Площадь полной поверхности

Теперь можем подставить всё в формулу для нахождения полной площади: \[ P = 2 \cdot S + P_{бок} = 2 \cdot 18 + (72 + 36\sqrt{2}) = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Ответ

Площадь полной поверхности призмы равна \(108 + 36\sqrt{2}\) см².