Чтобы решить задачу о прямой призме, основание которой является прямоугольный треугольник, мы сначала найдем необходимые параметры и затем вычислим площадь полной поверхности.
Шаг 1: Найдем площадь основания призмы
Основание нашей призмы — это прямоугольный треугольник с одним катетом, равным 6 см, и острым углом в 45°. Поскольку острый угол равен 45°, это означает, что второй катет также равен 6 см (в прямоугольном треугольнике с углами 45°-45°-90° оба катета равны).
Формула для вычисления площади (S) прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где (a) и (b) — катеты.
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 , \text{см}^2
]
Шаг 2: Найдем высоту призмы
Объем (V) прямой призмы рассчитывается по формуле:
[
V = S \cdot h
]
где (S) — площадь основания, (h) — высота призмы.
Из условия мы знаем, что объем призмы равен 108 см². Мы можем найти высоту (h):
[
h = \frac{V}{S} = \frac{108}{18} = 6 , \text{см}
]
Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы
Площадь полной поверхности (P) прямой призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности:
[
P = 2S + P_{бок}
]
Площадь боковой поверхности определяется как произведение периметра основания и высоты призмы. Периметр (P_{осн}) прямоугольного треугольника:
[
P_{осн} = a + b + c
]
где (c) — гипотенуза. Для нахождения гипотенузы используем теорему Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} , \text{см}
]
Теперь находим периметр:
[
P_{осн} = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} , \text{см}
]
Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
[
P_{бок} = P_{осн} \cdot h = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6
]
[
P_{бок} = 72 + 36\sqrt{2} , \text{см}^2
]
Шаг 4: Площадь полной поверхности
Теперь можем подставить всё в формулу для нахождения полной площади:
[
P = 2 \cdot S + P_{бок} = 2 \cdot 18 + (72 + 36\sqrt{2}) = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} , \text{см}^2
]
Ответ
Площадь полной поверхности призмы равна (108 + 36\sqrt{2}) см².
