Ученики хотят поздравить преподавателя с днём учителя. Они хотят подарить ей 3 разных цветка и 3 разных конфеты. Всего в магазине 6 видов цветов и 10 видов конфет. Сколькими способами дети могут составить подарок?

Для решения этой задачи используем комбинаторику, а именно формулы для сочетаний. ### Шаг 1: Выбор цветов Как указано в задаче, ученикам нужно выбрать 3 разных цветка из 6 доступных видов. Для этого мы используем формулу сочетаний, которая записывается как: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \] где: - \(n\) — общее количество объектов (в нашем случае видов цветов), - \(k\) — количество объектов, которые нужно выбрать. Подставим наши значения: \(n = 6\) (виды цветов) и \(k = 3\) (количество выбираемых цветов). \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \] Вычислим факториалы: - \(6! = 720\) - \(3! = 6\) Теперь подставим эти значения в формулу: \[ C(6, 3) = \frac{720}{6 \cdot 6} = \frac{720}{36} = 20 \] Таким образом, ученики могут выбрать цвета 20 способами. ### Шаг 2: Выбор конфет Теперь ученикам нужно выбрать 3 разных конфеты из 10 доступных видов. Аналогично используем формулу сочетаний: Подставим значения: \(n = 10\) (виды конфет) и \(k = 3\) (количество выбираемых конфет). \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \] Вычислим факториалы: - \(10! = 3628800\) - \(7! = 5040\) - \(3! = 6\) Теперь подставим в формулу: \[ C(10, 3) = \frac{3628800}{6 \cdot 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120 \] Таким образом, ученики могут выбрать конфеты 120 способами. ### Шаг 3: Общее количество способов Теперь, чтобы найти общее количество способов составить подарок, нужно перемножить количество способов выбора цветов и конфет: \[ \text{Общее количество способов} = C(6, 3) \cdot C(10, 3) = 20 \cdot 120 = 2400 \] ### Ответ Ученики могут составить подарок 2400 разными способами.