Пусть (Eξ1)2Dξ1=2 . Будем искать оценку θ^n для θ=Eξ1 в виде μ∑i=1nxi для μ∈[0,1] . Найдите, при каком μ значение функции риска Rθ^n(θ) будет наименьшим (считается, что θ…
Пусть (Eξ1)2Dξ1=2 . Будем искать оценку θ^n для θ=Eξ1 в виде μ∑i=1nxi для μ∈[0,1] . Найдите, при каком μ значение функции риска Rθ^n(θ) будет наименьшим (считается, что θ фиксированно, поэтому при фиксированном n функция Rθ^n(θ) — это функция от μ ). В качестве ответа введите значение μ при n=10 .
Для решения данной задачи необходимо рассмотреть функцию риска \( R_{\theta}^n(\theta) \) в контексте оценки параметра \( \theta = E[\xi_1] \) с использованием оценивателя \( \hat{\theta}^n = \mu \sum_{i=1}^{n} x_i \), где \( \mu \in [0, 1] \) и \( x_i \) — выборочные значения.
- Определение функции риска Давайте начнем с определения функции риска для оценки \( \hat{\theta}^n \):
\[ R_{\theta}^n(\theta) = E[(\hat{\theta}^n - \theta)^2] \]
Подставим оцениватель в это выражение:
\[ R_{\theta}^n(\theta) = E\left[(\mu \sum_{i=1}^{n} x_i - \theta)^2\right] \]
Введем обозначения Обозначим \( S = \sum_{i=1}^{n} x_i \). Тогда: \[ R_{\theta}^n(\theta) = E\left[(\mu S - \theta)^2\right] \]
Найдем математическое ожидание
Предположим, что \( S \) является случайной величиной, распределенной как \( n \xi_1 \) (где \( \xi_1 \) — аксиомная случайная величина). Тогда \( E[S] = n E[\xi_1] = n \theta \).
Используем свойства математического ожидания: \[ R_{\theta}^n(\theta) = E[(\mu S - \theta)^2] = E[(\mu S - n \mu E[\xi_1])^2] \]
Распишем далее: \[ = E[(\mu S - \mu n \theta + \mu n \theta - \theta)^2] = E[(\mu (S - n \theta) + n \theta - \theta)^2] \]
- Применим свойства дисперсии
Теперь расставим все члены и выделим \( \mu \): \[ = E[(\mu (S - n \theta))^2] + 2E[\mu (S - n \theta)(n \theta - \theta)] + (n \theta - \theta)^2 \]
Теперь применим теорему о математическом ожидании: \[ = \mu^2 E[(S - n \theta)^2] + 0 + (n \theta - \theta)^2 = \mu^2 Var(S) + (n\theta - \theta)^2 \]
- Формула дисперсии
Пусть \( Var(S) = n Var(\xi_1) \) так как \( S \) — просто сумма независимых одинаково распределенных случайных величин: \[ Var(S) = n \sigma^2 \]
Таким образом, мы получаем: \[ R_{\theta}^n(\theta) = \mu^2 n \sigma^2 + (n - 1)^2 \theta^2 \]
- Минимизация функции риска Теперь мы хотим минимизировать \( R_{\theta}^n(\theta) \) по \( \mu \) из \( [0, 1] \). Это функция квадратичная, и наименьший риск будет достигнут при границах или вершинных точках параболы.
Чтобы найти минимум, нужно установить первую производную равной нулю, но так как идет речь о квадратике, мы можем сразу заметить что минимум будет достигнут при 0 или 1. Проверяем границы.
Оценка для \( n = 10 \) Подставляем \( n = 10 \): \[ R_{\theta}^{10}(\theta) = \mu^2 \cdot 10 \sigma^2 + (10 - 1)^2 \theta^2 \] Данная функция будет минимальна при \( \mu = 1 \) (так как возрастает при увеличении \( \mu \)).
Ответ:
Наименьшее значение функции риска \( R_{\theta}^{10}(\theta) \) достигается при \( \mu = 1 \).
