В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , BC = 9 10 , cos ( B ) = 3 10 . Найдите AB .
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Треугольник \( ABC \), где угол \( C \) равен \( 90^\circ \).
- Длина стороны \( BC = 9 \).
- \( \cos(B) = \frac{3}{10} \).
Необходимо найти длину стороны \( AB \).
Используем определение косинуса:
В треугольнике с прямым углом \( C \) определение косинуса угла \( B \) выглядит следующим образом:
\[ \cos(B) = \frac{\text{прилагающая сторона к углу B}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]
Здесь \( AC \) — это прилежащая сторона к углу \( B \) (с точки зрения \( B \)), а \( AB \) — гипотенуза.
Далее, выразим \( AC \) через \( AB \):
Из формулы для косинуса мы можем выразить \( AC \):
\[ AC = AB \cdot \cos(B) = AB \cdot \frac{3}{10} \]
Используем теорему Пифагора:
Поскольку \( ABC \) – это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора, которая говорит:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим \( AC \) и \( BC \) в уравнение:
\[ AB^2 = \left(AB \cdot \frac{3}{10}\right)^2 + 9^2 \]
Упростим уравнение:
\[ AB^2 = \left(AB^2 \cdot \frac{9}{100}\right) + 81 \]
Умножим всё на 100, чтобы избавиться от дробей:
\[ 100 \cdot AB^2 = 9 \cdot AB^2 + 8100 \]
Упорядочим уравнение:
\[ 100AB^2 - 9AB^2 = 8100 \]
\[ 91AB^2 = 8100 \]
Находим \( AB^2 \):
\[ AB^2 = \frac{8100}{91} \]
Далее посчитаем \( AB \):
\[ AB = \sqrt{\frac{8100}{91}} \approx \sqrt{89.01099} \approx 9.43 \]
Таким образом, длина стороны \( AB \) примерно \( 9.43 \) единиц.
Ответ: \( AB \approx 9.43 \) единиц.
Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите подробнее рассмотреть какую-то часть решения, дайте знать!
