Пусть n > 2024 - натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до n.За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем…

Рассмотрим задачу пошагово.

Условия задачи

У нас есть натуральные числа от 2024 до \( n \), где \( n > 2024 \). Робот на каждой операции берет два наибольших числа и заменяет их на их разность. Когда на доске остается только одно число, нужно выяснить, при каких условиях это число будет равно 0.

Анализ операций

1. В каждой операции мы берем два наибольших числа \( a \) и \( b \) (где \( a \geq b \)) и заменяем их на разность \( a - b \).
2. Заметим, что если заменить два числа на их разность, то сумма всех чисел на доске уменьшается на \( 2b \) (так как \( a + b - (a - b) = 2b \)).
3. Таким образом, каждое применение операции уменьшает сумму чисел на определенное количество.

Числа на доске

• Числа на доске: \( 2024, 2025, \ldots, n \)
• Сумма этих чисел вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{(n - 2024 + 1)(2024 + n)}{2} \] \[ = \frac{(n - 2023)(2024 + n)}{2} \]

Условия для получения 0

Чтобы на доске осталось одно число, равное 0, необходимо, чтобы сумма чисел \( S \) была четной. При этом, поскольку мы каждый раз вычитаем четное число \( 2b \) (где \( b \) — одно из чисел), нам нужно, чтобы начальная сумма \( S \) была четной, чтобы последовательно доработать ее до 0.

Четность суммы

• Если \( n \) — четное число, то \( 2024 \) также четное. Сумма от \( 2024 \) до \( n \) будет делиться на 2.
• Если \( n \) — нечетное число, тогда будет нечетное количество четных чисел (от \( 2024 \) до \( n-1 \)).

Таким образом:

• Сумма будет четной, если \( n \) четное.

Найдем количество подходящих \( n \)

Нам нужно найти количество четных значений \( n \) в диапазоне от \( 2025 \) до \( 9999 \).

1. Нижняя граница: первое четное \( n \) — это 2026.
2. Верхняя граница: максимальное четное \( n \) — это 9998.

Теперь находим количество четных чисел между 2026 и 9998:

• Четные числа образуют арифметическую прогрессию, где:
  • первый элемент \( a = 2026 \),
  • последний элемент \( b = 9998 \),
  • разность \( d = 2 \).

Количество четных чисел можно найти так: \[ k = \frac{9998 - 2026}{2} + 1 = \frac{7972}{2} + 1 = 3986 + 1 = 3987 \]

Таким образом, количество натуральных \( n < 10000 \), для которых число на доске будет равно 0, равно 3987.