Пусть п> 2024 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до п. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных п< 10000, для которых это число будет равно 0?

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с работой робота и с условиями, при которых конечное число на доске будет равно 0. ### Понимание задачи На доске изначально написаны числа от 2024 до \( p \) (где \( p > 2024 \)). Робот выбирает два наибольших числа и заменяет их на их разность. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется только одно число. Наша цель — выяснить, при каких \( p < 10000 \) это конечное число может быть равно 0. ### Анализ операции При каждой операции, робот выбирает два наибольших числа, \( a \) и \( b \), и заменяет их на \( a - b \). Заметим, что: - Если \( a - b \) заменяет оба числа (а они по определению большие), то новый элемент на доске будет меньше любого из заменяемых. - Если мы продолжаем этот процесс, в момент, когда остаётся только одно число, это число будет либо положительным, либо равным 0. ### Связь с чётностью чисел Важно заметить, что при всех операциях сумма чисел на доске изменяется. Чтобы понять, когда итоговое число равно 0, нам следует рассмотреть чётность (чётные и нечётные числа): - Если у нас всего чётных чисел, то разность двух чётных также чётная. - Если у нас всего нечётных чисел, то разность двух нечётных чисел будет чётной. - Если же у нас есть и чётные, и нечётные числа, то разность двух чисел (чётного и нечётного) будет нечётной. Исходя из этого, итоговое число будет равно 0 только в том случае, если количество нечётных чисел, участвовавших в процессе, будет чётным. В противном случае, конечное число не сможет стать равным 0. ### Количество чисел от 2024 до \( p \) Количество чисел от 2024 до \( p \) равно \( p - 2024 + 1 \). Для всех натуральных \( p < 10000 \): - Последним числом будет 9999. Таким образом, \( p \) может варьироваться от 2024 до 9999. - Рассмотрим количество чётных и нечётных чисел. ### Подсчёт количеств чётных и нечётных чисел Учитываем, что диапазон от 2024 до \( p \) составляют числа: - \( n = p - 2024 + 1 \) — общее количество чисел. Если \( n \) чётное, тогда: - \( n \) делится на 2 и в нём содержится равное количество чётных и нечётных чисел. Если \( n \) нечётное, то: - Чётных и нечётных чисел будет неравное количество. ### Условия для 0 Мы можем получить 0 на доске только если общее количество нечётных чисел во всех операциях будет чётным, то есть количество чисел \( n \) (чисел от 2024 до \( p \)) должно быть чётным. ### Подсчёт подходящих \( p \) 1. \( p - 2024 + 1 = n \) 2. Числа от 2024 до 9999 — это 9999 - 2024 + 1 = 7980 чисел. 3. Для того, чтобы \( n \) было чётным, \( p \) должен быть нечётным. Числа между 2024 и 9999, которые нечётные: - Начинаем с 2025 и до 9999. - Последнее нечётное число — 9999. - Первая последовательность нечётных чисел: \( 2025, 2027, \ldots, 9999 \). ### Формула нахождения количества нечётных чисел Количество чисел данной последовательности можно найти так: - Это арифметическая прогрессия со следующим первым членом (2025), шагом (2) и последним членом (9999). - Формула нахождения количества членов в прогрессии: \[ k = \frac{\text{последний} - \text{первый}}{\text{шаг}} + 1 = \frac{9999 - 2025}{2} + 1 = \frac{7974}{2} + 1 = 3987 + 1 = 3988. \] Таким образом, существует **3988 натуральных \( p < 10000 \)**, при которых итоговое число будет равно 0.