Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t)=t3+1/2t2 найдите скорость и ускорение в момент времени t=3сек

Чтобы решить эту задачу, мы начнем с анализа заданного уравнения движения материальной точки, которое задается функцией: \[ x(t) = t^3 + \frac{1}{2} t^2 \] где \( x(t) \) — положение точки в момент времени \( t \). ### Шаг 1: Находим скорость Скорость \( v(t) \) — это производная положения по времени. Нам нужно взять производную функции \( x(t) \) по \( t \). \[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + \frac{1}{2} t^2) \] Используем правила дифференцирования: 1. Производная \( t^n \) равна \( nt^{n-1} \). 2. Производная константы умноженной на функцию также равна константе, умноженной на производную функции. Теперь найдем производную: - Производная \( t^3 \) будет \( 3t^2 \). - Производная \( \frac{1}{2} t^2 \) будет \( \frac{1}{2} \cdot 2t = t \). Таким образом, \[ v(t) = 3t^2 + t \] ### Шаг 2: Находим скорость в момент времени \( t = 3 \) сек Подставим \( t = 3 \) в выражение для скорости: \[ v(3) = 3(3^2) + 3 = 3(9) + 3 = 27 + 3 = 30 \] Следовательно, скорость в момент времени \( t = 3 \) секунды равна \( 30 \) м/с. ### Шаг 3: Находим ускорение Ускорение \( a(t) \) — это производная скорости по времени. Поскольку мы уже нашли выражение для скорости \( v(t) = 3t^2 + t \), мы можем взять производную \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + t) \] Теперь находим производные: - Производная \( 3t^2 \) будет \( 6t \). - Производная \( t \) будет \( 1 \). Таким образом, \[ a(t) = 6t + 1 \] ### Шаг 4: Находим ускорение в момент времени \( t = 3 \) сек Подставим \( t = 3 \) в выражение для ускорения: \[ a(3) = 6(3) + 1 = 18 + 1 = 19 \] Следовательно, ускорение в момент времени \( t = 3 \) секунды равно \( 19 \) м/с². ### Итог Мы нашли следующие значения: - Скорость в момент времени \( t = 3 \) секунды: \( v(3) = 30 \) м/с. - Ускорение в момент времени \( t = 3 \) секунды: \( a(3) = 19 \) м/с².