материальная точка движется прямолинейно по закону x (t)=t3+1/2t2 найдите скорость и ускорение в момент времени t=3сек
Чтобы решить эту задачу, мы начнем с анализа заданного уравнения движения материальной точки, которое задается функцией:
\[ x(t) = t^3 + \frac{1}{2} t^2 \]
где \( x(t) \) — положение точки в момент времени \( t \).
Шаг 1: Находим скорость
Скорость \( v(t) \) — это производная положения по времени. Нам нужно взять производную функции \( x(t) \) по \( t \).
\[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + \frac{1}{2} t^2) \]
Используем правила дифференцирования:
- Производная \( t^n \) равна \( nt^{n-1} \).
- Производная константы умноженной на функцию также равна константе, умноженной на производную функции.
Теперь найдем производную:
- Производная \( t^3 \) будет \( 3t^2 \).
- Производная \( \frac{1}{2} t^2 \) будет \( \frac{1}{2} \cdot 2t = t \).
Таким образом,
\[ v(t) = 3t^2 + t \]
Шаг 2: Находим скорость в момент времени \( t = 3 \) сек
Подставим \( t = 3 \) в выражение для скорости:
\[ v(3) = 3(3^2) + 3 = 3(9) + 3 = 27 + 3 = 30 \]
Следовательно, скорость в момент времени \( t = 3 \) секунды равна \( 30 \) м/с.
Шаг 3: Находим ускорение
Ускорение \( a(t) \) — это производная скорости по времени. Поскольку мы уже нашли выражение для скорости \( v(t) = 3t^2 + t \), мы можем взять производную \( v(t) \):
\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + t) \]
Теперь находим производные:
- Производная \( 3t^2 \) будет \( 6t \).
- Производная \( t \) будет \( 1 \).
Таким образом,
\[ a(t) = 6t + 1 \]
Шаг 4: Находим ускорение в момент времени \( t = 3 \) сек
Подставим \( t = 3 \) в выражение для ускорения:
\[ a(3) = 6(3) + 1 = 18 + 1 = 19 \]
Следовательно, ускорение в момент времени \( t = 3 \) секунды равно \( 19 \) м/с².
Итог
Мы нашли следующие значения:
- Скорость в момент времени \( t = 3 \) секунды: \( v(3) = 30 \) м/с.
- Ускорение в момент времени \( t = 3 \) секунды: \( a(3) = 19 \) м/с².
