Вычисли сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, если b 1 = 3 b 1 ​ =3 , b 3 = 147 b 3 ​ =147 .

Для решения задачи найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии. Из условия мы знаем:

• Первый член \( b_1 = 3 \)
• Третий член \( b_3 = 147 \)

Геометрическая прогрессия определяется следующими свойствами:

1. \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( q \) — знаменатель прогрессии.
2. Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии \( q \)

Согласно формуле для \( b_3 \):

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 147 = 3 \cdot q^2 \]

Теперь решим это уравнение для \( q^2 \):

\[ q^2 = \frac{147}{3} = 49 \]

Теперь найдём \( q \):

\[ q = \sqrt{49} = 7 \]

Шаг 2: Найдем сумму первых четырех членов

Теперь, когда у нас есть первый член и знаменатель, можем найти \( S_4 \):

\[ S_4 = b_1 \cdot \frac{1 - q^4}{1 - q} \]

Подставим известные значения:

1. \( b_1 = 3 \)
2. \( q = 7 \)

Теперь найдем \( q^4 \):

\[ q^4 = 7^4 = 2401 \]

Теперь можем подставить в формулу суммы:

\[ S_4 = 3 \cdot \frac{1 - 2401}{1 - 7} = 3 \cdot \frac{1 - 2401}{-6} \]

Сначала посчитаем \( 1 - 2401 = -2400 \), следовательно:

\[ S_4 = 3 \cdot \frac{-2400}{-6} = 3 \cdot 400 = 1200 \]

Ответ

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна \( 1200 \).