Минимальное значение х2 + у2, если х2 - у2 + 6х + 4у + 5 = 0, равно

Чтобы найти минимальное значение функции \( z = x^2 + y^2 \) при условии, что \( x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \), можно воспользоваться методом Lagrange. Однако, для понимания задачи, мы сначала перепишем и упростим условие. ### Шаг 1: Преобразование уравнения ограничения Начнем с уравнения: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0. \] Перепишем его так, чтобы выделить \( y^2 \): \[ y^2 = x^2 + 6x + 4y + 5. \] Мы можем попробовать выразить \( y \) через \( x \). ### Шаг 2: Изолируем \( y \) Переместим \( 4y \) в левую часть: \[ y^2 - 4y = x^2 + 6x + 5. \] Теперь применим квадратный закон для \( y \): \[ y^2 - 4y + 4 = x^2 + 6x + 9. \] Это можно записать в виде: \[ (y - 2)^2 = (x + 3)^2. \] Таким образом, у нас получается два возможных уравнения: \[ y - 2 = x + 3 \quad \text{или} \quad y - 2 = -(x + 3. \] ### Шаг 3: Решения для \( y \) Решая эти уравнения, получаем: 1. \( y = x + 5 \) 2. \( y = -x - 1 \) ### Шаг 4: Заменяем \( y \) в функции \( z \) Теперь найдем \( z = x^2 + y^2 \) для обоих случаев. **Случай 1:** \( y = x + 5 \) Подставим в \( z \): \[ z = x^2 + (x + 5)^2 = x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 10x + 25. \] Это квадратная функция, которая достигает своего минимума в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5. \] Теперь вычислим \( z \) при этом \( x \): \[ z = 2(-2.5)^2 + 10(-2.5) + 25. \] Считаем: \[ z = 2 \cdot 6.25 - 25 + 25 = 12.5 - 25 + 25 = 12.5. \] **Случай 2:** \( y = -x - 1 \) Теперь подставляем: \[ z = x^2 + (-x - 1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1. \] Также находим минимум: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5. \] Теперь считаем \( z \) при \( x = -0.5 \): \[ z = 2(-0.5)^2 + 2(-0.5) + 1. \] Считаем: \[ z = 2 \cdot 0.25 - 1 + 1 = 0.5. \] ### Шаг 5: Сравнение минимальных значений Теперь сравним найденные минимумы: - При \( y = x + 5 \) минимальное значение \( z = 12.5 \). - При \( y = -x - 1 \) минимальное значение \( z = 0.5 \). ### Итог Минимальное значение \( z = x^2 + y^2 \) при заданном условии равно: \[ \boxed{0.5}. \]