На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение,длина окружности которого равна 24пи см.Найдите объем меньшего марового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.
Для решения этой задачи нам нужно найти радиус шара и радиус окружности сечения, а затем использовать формулу для объема сегмента сферы.
Находим радиус окружности сечения: Длина окружности \(C\) окружности сечения задана формулой:
\[ C = 2\pi r, \]
где \(r\) — радиус окружности сечения. Мы знаем, что \(C = 24\pi\),
\[ 24\pi = 2\pi r \implies r = 12 \text{ см}. \]
Находим радиус шара: Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \(h = 9 \text{ см}\). По теореме Пифагора, мы можем найти радиус \(R\) шара:
\[ R^2 = r^2 + h^2, \]
подставляем значения:
\[ R^2 = (12)^2 + (9)^2 = 144 + 81 = 225 \implies R = \sqrt{225} = 15 \text{ см}. \]
Находим объем меньшего сегмента. Объем сегмента сферы \(V\) можно рассчитать по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h), \]
где \(h\) - расстояние от плоскости сечения до верхней точки шара. Для нашего случая \(h = 9 \text{ см}\), а \(R = 15 \text{ см}\):
\[ V = \frac{1}{3} \pi (9^2) (3 \cdot 15 - 9) = \frac{1}{3} \pi (81) (45 - 9) = \frac{1}{3} \pi (81) (36). \]
Вычисляем:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 2916 = 972\pi \text{ см}^3. \]
Таким образом, объем меньшего сегмента, отсекаемого плоскостью сечения, равен \(972\pi \text{ см}^3\).
