Контрольная работа № 5 Системы уравнений Вариант 1 о 1 Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения 2x - y = 4: (0; 4), (2; 0), (3; -10), (3; -2)? 2 Вычислите…

Разберём предложенные задания по системам уравнений по порядку.

Задача 1:

Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения 2x - y = 4: (0; 4), (2; 0), (3; -10), (3; -2)?

Решение: Чтобы проверить, являются ли данные пары решений уравнения, подставим каждую пару в уравнение 2x - y = 4.

1. Для (0; 4): \[ 2(0) - 4 = 0 - 4 = -4 \quad (\text{не решение}) \]

2. Для (2; 0): \[ 2(2) - 0 = 4 - 0 = 4 \quad (\text{решение}) \]

3. Для (3; -10): \[ 2(3) - (-10) = 6 + 10 = 16 \quad (\text{не решение}) \]

4. Для (3; -2): \[ 2(3) - (-2) = 6 + 2 = 8 \quad (\text{не решение}) \]

Ответ: Только пара (2; 0) является решением уравнения 2x - y = 4.

Задача 2:

Вычислите координаты точек пересечения прямой х + 4y = 6 с осью х и с осью у.

Решение:

1. Для нахождения точки пересечения с осью х, приравниваем y = 0: \[ x + 4(0) = 6 \Rightarrow x = 6 \] Точка пересечения с осью х: (6; 0).

2. Для нахождения точки пересечения с осью у, приравниваем x = 0: \[ 0 + 4y = 6 \Rightarrow 4y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Точка пересечения с осью у: (0; 1.5).

Ответ: Точки пересечения: (6; 0) и (0; 1.5).

Задача 3:

а) Постройте прямую, заданную уравнением у = -x + 3.

• Для построения этой прямой найдём точки. Например, с x = 0: \[ y = -0 + 3 = 3 \quad (0; 3) \] С x = 3: \[ y = -3 + 3 = 0 \quad (3; 0) \]

б) Какая из прямых: y = -2x, y = -x + 3 или y = -2x - 1 параллельна прямой y = -x + 3?

• Прямые y = -2x и y = -2x - 1 имеют одинаковый коэффициент перед x, значит они параллельны.

Задача 4:

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x + y = -3.

Используем метод подстановки или метод сложения при решении двух уравнений. Запишем систему: \[ 2x + y = -3 \quad (1) \] Приведём условие k для другой прямой y = mx + b (например, y = x + 1): \[ x + (-2x - 3) = 0 \Rightarrow x = -1, \quad y = 2(-1)+3 = -1 \]

Задача 5:

Составьте систему уравнений по условию задачи: «Для компьютерного класса купили 100 дисков, упакованных в коробки по 5 и по 12 дисков в каждой коробке, Сколько купили коробок каждого вида, если всего было куплено 13 коробок?

Обозначим:

• x — количество коробок по 5 дисков;
• y — количество коробок по 12 дисков.

Составим систему:

1. \( 5x + 12y = 100 \)
2. \( x + y = 13 \)

Задача 6:

Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой 3,5x и проходит через точку (-1; 6).

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Угловой коэффициент для этой прямой равен 3.5. Используя точку (-1; 6) и уравнение прямой в точечном виде: \[ y - 6 = 3.5(x + 1) \]

Упростим: \[ y = 3.5x + 3.5 + 6 \Rightarrow y = 3.5x + 9.5. \]

Задача 7:

Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; -9). Составьте уравнение этой прямой.

Находим угловой коэффициент (m): \[ m = \frac{-9 - 4}{2 - 0} = \frac{-13}{2}. \] Запишем уравнение в виде точки: \[ y - 4 = -\frac{13}{2}(x - 0). \] Упрощаем: \[ y = -\frac{13}{2}x + 4. \]

Задача 8:

Имеют ли окружность x² + y² = 10 и прямая x + y = 5 общие точки?

Подставим y из уравнения прямой в уравнение окружности: \[ x^2 + (5 - x)^2 = 10. \] Раскроем скобки и упростим: \[ x^2 + 25 - 10x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 15 = 0. \] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4*2*15 = 100 - 120 = -20. \] Ответ: Прямая и окружность не имеют общих точек (дискриминант отрицательный).

Дополнительное задание:

Найдите все точки прямой x + 3y = 15, координаты которых являются целыми положительными числами.

Преобразуем уравнение: \[ 3y = 15 - x \Rightarrow y = \frac{15 - x}{3}. \] Для целых положительных значений x, 15 - x должно быть кратно 3. Положительные значения x можно проверить от 1 до 15 (при x = 12, y = 1; x = 9, y = 2; и т.д.).

Ответ: Целые положительные решения: (0; 5), (3; 4), (6; 3), (9; 2), (12; 1), (15; 0).

Если у вас есть дополнительные вопросы по какой-либо части, спрашивайте!