Разберём предложенные задания по системам уравнений по порядку.
Задача 1:
Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения 2x - y = 4: (0; 4), (2; 0), (3; -10), (3; -2)?
Решение:
Чтобы проверить, являются ли данные пары решений уравнения, подставим каждую пару в уравнение 2x - y = 4.
Для (0; 4):
[
2(0) - 4 = 0 - 4 = -4 \quad (\text{не решение})
]
Для (2; 0):
[
2(2) - 0 = 4 - 0 = 4 \quad (\text{решение})
]
Для (3; -10):
[
2(3) - (-10) = 6 + 10 = 16 \quad (\text{не решение})
]
Для (3; -2):
[
2(3) - (-2) = 6 + 2 = 8 \quad (\text{не решение})
]
Ответ: Только пара (2; 0) является решением уравнения 2x - y = 4.
Задача 2:
Вычислите координаты точек пересечения прямой х + 4y = 6 с осью х и с осью у.
Решение:
Для нахождения точки пересечения с осью х, приравниваем y = 0:
[
x + 4(0) = 6 \Rightarrow x = 6
]
Точка пересечения с осью х: (6; 0).
Для нахождения точки пересечения с осью у, приравниваем x = 0:
[
0 + 4y = 6 \Rightarrow 4y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
]
Точка пересечения с осью у: (0; 1.5).
Ответ: Точки пересечения: (6; 0) и (0; 1.5).
Задача 3:
а) Постройте прямую, заданную уравнением у = -x + 3.
- Для построения этой прямой найдём точки. Например, с x = 0:
[
y = -0 + 3 = 3 \quad (0; 3)
]
С x = 3:
[
y = -3 + 3 = 0 \quad (3; 0)
]
б) Какая из прямых: y = -2x, y = -x + 3 или y = -2x - 1 параллельна прямой y = -x + 3?
- Прямые y = -2x и y = -2x - 1 имеют одинаковый коэффициент перед x, значит они параллельны.
Задача 4:
Найдите координаты точки пересечения прямых 2x + y = -3.
Используем метод подстановки или метод сложения при решении двух уравнений.
Запишем систему:
[
2x + y = -3 \quad (1)
]
Приведём условие k для другой прямой y = mx + b (например, y = x + 1):
[
x + (-2x - 3) = 0 \Rightarrow x = -1, \quad y = 2(-1)+3 = -1
]
Задача 5:
Составьте систему уравнений по условию задачи: «Для компьютерного класса купили 100 дисков, упакованных в коробки по 5 и по 12 дисков в каждой коробке, Сколько купили коробок каждого вида, если всего было куплено 13 коробок?
Обозначим:
- x — количество коробок по 5 дисков;
- y — количество коробок по 12 дисков.
Составим систему:
- ( 5x + 12y = 100 )
- ( x + y = 13 )
Задача 6:
Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой 3,5x и проходит через точку (-1; 6).
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Угловой коэффициент для этой прямой равен 3.5. Используя точку (-1; 6) и уравнение прямой в точечном виде:
[
y - 6 = 3.5(x + 1)
]
Упростим:
[
y = 3.5x + 3.5 + 6 \Rightarrow y = 3.5x + 9.5.
]
Задача 7:
Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; -9). Составьте уравнение этой прямой.
Находим угловой коэффициент (m):
[
m = \frac{-9 - 4}{2 - 0} = \frac{-13}{2}.
]
Запишем уравнение в виде точки:
[
y - 4 = -\frac{13}{2}(x - 0).
]
Упрощаем:
[
y = -\frac{13}{2}x + 4.
]
Задача 8:
Имеют ли окружность x² + y² = 10 и прямая x + y = 5 общие точки?
Подставим y из уравнения прямой в уравнение окружности:
[
x^2 + (5 - x)^2 = 10.
]
Раскроем скобки и упростим:
[
x^2 + 25 - 10x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 15 = 0.
]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
[
D = (-10)^2 - 4215 = 100 - 120 = -20.
]
Ответ: Прямая и окружность не имеют общих точек (дискриминант отрицательный).
Дополнительное задание:
Найдите все точки прямой x + 3y = 15, координаты которых являются целыми положительными числами.
Преобразуем уравнение:
[
3y = 15 - x \Rightarrow y = \frac{15 - x}{3}.
]
Для целых положительных значений x, 15 - x должно быть кратно 3. Положительные значения x можно проверить от 1 до 15 (при x = 12, y = 1; x = 9, y = 2; и т.д.).
Ответ: Целые положительные решения: (0; 5), (3; 4), (6; 3), (9; 2), (12; 1), (15; 0).
Если у вас есть дополнительные вопросы по какой-либо части, спрашивайте!
