Дан треугольник АВС. AC = 9 см; Z B = 30°; ZC = 45°. Найди сторону АВ. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) можно воспользоваться теоремой синусов. Сначала найдем угол \( A \):

\[ Z A = 180° - Z B - Z C = 180° - 30° - 45° = 105°. \]

Теперь используем теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AB}{\sin 45°} = \frac{9}{\sin 30°}. \]

Зная значения синусов:

\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}, \]

можем записать уравнение:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9}{\frac{1}{2}}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 18. \]

Теперь выразим \( AB \):

\[ AB = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}. \]

Таким образом, сторона \( AB \) равна \( 9\sqrt{2} \). Это уже наименьшее натуральное число под знаком корня.