формула корней

Формула корней применяется для решения квадратных уравнений вида:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты уравнения, а \( x \) — переменная.

Пошаговое объяснение

1. Формула корней: Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:

   \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

   Здесь \( \sqrt{{b^2 - 4ac}} \) называется дискриминантом, а его значение определяет количество и тип корней уравнения.

2. Дискриминант:

   • Если \( D = b^2 - 4ac > 0 \), то у уравнения два различных вещественных корня.
   • Если \( D = 0 \), то у уравнения один двойной корень (или два равных корня).
   • Если \( D < 0 \), то у уравнения нет вещественных корней (корни комплексные).

3. Применение формулы: Чтобы использовать формулу корней, следуй этим шагам:

   • Определи коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) из уравнения.
   • Вычисли дискриминант \( D = b^2 - 4ac \).
   • В зависимости от значения \( D \) выбери соответствующий случай:
     • Для \( D > 0 \): найди два корня, подставив значение \( D \) в формулу.
     • Для \( D = 0 \): найди один корень, подставив значение \( D \) в формулу.
     • Для \( D < 0 \): запомни, что корни будут комплексными.

Пример решения

Рассмотрим уравнение:

\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

1. Определяем коэффициенты:

   • \( a = 2 \)
   • \( b = -4 \)
   • \( c = -6 \)

2. Вычисляем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]

3. Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных вещественных корня. Подставляем в формулу: \[ x_1 = \frac{{-(-4) + \sqrt{64}}}{2 \cdot 2} = \frac{{4 + 8}}{4} = 3 \] \[ x_2 = \frac{{-(-4) - \sqrt{64}}}{2 \cdot 2} = \frac{{4 - 8}}{4} = -1 \]

Ответ:

Корни уравнения \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \) равны \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).