Решить уравнение x³+5x²-9x-45=0

Давайте решим уравнение \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 \) пошагово. ### Шаг 1: Поиск рациональных корней Для начала, попробуем найти рациональные корни данного уравнения, используя теорему о рациональных корнях. Теорема говорит, что если у уравнения есть рациональный корень \( \frac{p}{q} \), то \( p \) — делитель свободного члена (в данном случае -45), а \( q \) — делитель ведущего коэффициента (в данном случае 1). **Делители -45:** ±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±45. Это значит, что возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45 \). ### Шаг 2: Проверка рациональных корней Теперь мы проверим каждый из этих корней, подставляя их в уравнение. - Проверяем \( x = -5 \): \[ (-5)^3 + 5(-5)^2 - 9(-5) - 45 = -125 + 125 + 45 - 45 = 0 \] Значит, \( x = -5 \) является корнем уравнения. ### Шаг 3: Деление многочлена Теперь, когда мы нашли один корень, \( x + 5 \) является одним из множителей. Нам нужно разделить исходный многочлен на \( x + 5 \) с помощью деления многочленов. 1. **Делим \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 \) на \( x + 5 \).** Первый шаг деления: - Делим старший член: \( x^3 / x = x^2 \). - Умножаем \( x^2 \) на \( x + 5 \): \( x^3 + 5x^2 \). - Вычитаем: \((x^3 + 5x^2) - (x^3 + 5x^2) = 0\). Второй шаг деления: - Теперь у нас осталась часть \(-9x - 45\). - Делим: \(-9x / x = -9\). - Умножаем: \(-9(x + 5) = -9x - 45\). - Вычитаем: \((-9x - 45) - (-9x - 45) = 0\). Мы получили: \[ x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = (x + 5)(x^2 - 9) \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь решим уравнение \( x^2 - 9 = 0 \): \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0 \] Следовательно, \( x - 3 = 0 \) или \( x + 3 = 0 \): - \( x = 3 \) - \( x = -3 \) ### Шаг 5: Итоги Итак, у уравнения \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 \) три корня: - \( x = -5 \) - \( x = 3 \) - \( x = -3 \) ### Ответ Корни уравнения: \( x = -5, x = 3, x = -3 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то конкретное, дайте знать!