Даны 6 отрезков длины: 2; 4; 7; 10; 11; 20. Сколько различных разносторонних треугольников можно составить из этих отрезков?

Чтобы определить, сколько различных разносторонних треугольников можно составить из данных отрезков длины 2, 4, 7, 10, 11 и 20, нам нужно следовать нескольким шагам. ### 1. Условия существования треугольника Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника, которое утверждает, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Для отрезков \(a\), \(b\) и \(c\) это записывается как: - \(a + b > c\) - \(a + c > b\) - \(b + c > a\) Также давайте заранее отметим, что треугольник будет разносторонним, если все его стороны имеют разные длины. ### 2. Подбор тройки отрезков Поскольку у нас есть 6 отрезков, мы должны перебрать все возможные тройки и проверить выполняются ли условия для треугольников среди них. Обычно для этого мы можем использовать комбинации. Нам нужно выбрать 3 отрезка из 6, что можно сделать с помощью формулы: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \(n\) — общее количество отрезков, а \(k\) — количество отрезков в треугольнике (в нашем случае \(k = 3\)), т.е. \(C(6, 3) = 20\). ### 3. Проверка комбинаций Теперь мы рассмотрим все комбинации, чтобы определить, сколько из них соответствуют условиям существования треугольника. Список всех комбинаций из 6 отрезков: 1. \( (2, 4, 7) \) 2. \( (2, 4, 10) \) 3. \( (2, 4, 11) \) 4. \( (2, 4, 20) \) 5. \( (2, 7, 10) \) 6. \( (2, 7, 11) \) 7. \( (2, 7, 20) \) 8. \( (2, 10, 11) \) 9. \( (2, 10, 20) \) 10. \( (2, 11, 20) \) 11. \( (4, 7, 10) \) 12. \( (4, 7, 11) \) 13. \( (4, 7, 20) \) 14. \( (4, 10, 11) \) 15. \( (4, 10, 20) \) 16. \( (4, 11, 20) \) 17. \( (7, 10, 11) \) 18. \( (7, 10, 20) \) 19. \( (7, 11, 20) \) 20. \( (10, 11, 20) \) Теперь для каждой комбинации проверим неравенство треугольника: 1. \( 2, 4, 7 \): \( 2 + 4 = 6 < 7 \) (не подходит) 2. \( 2, 4, 10 \): \( 2 + 4 = 6 < 10 \) (не подходит) 3. \( 2, 4, 11 \): \( 2 + 4 = 6 < 11 \) (не подходит) 4. \( 2, 4, 20 \): \( 2 + 4 < 20 \) (не подходит) 5. \( 2, 7, 10 \): \( 2 + 7 = 9 < 10 \) (не подходит) 6. \( 2, 7, 11 \): \( 2 + 7 < 11 \) (не подходит) 7. \( 2, 7, 20 \): \( 2 + 7 < 20 \) (не подходит) 8. \( 2, 10, 11 \): \( 2 + 10 < 11 \) (не подходит) 9. \( 2, 10, 20 \): \( 2 + 10 < 20 \) (не подходит) 10. \( 2, 11, 20 \): \( 2 + 11 < 20 \) (не подходит) 11. \( 4, 7, 10 \): \( 4 + 7 = 11 > 10 \) (подходит) 12. \( 4, 7, 11 \): \( 4 + 7 = 11 = 11 \) (не подходит) 13. \( 4, 7, 20 \): \( 4 + 7 < 20 \) (не подходит) 14. \( 4, 10, 11 \): \( 4 + 10 = 14 > 11 \) (подходит) 15. \( 4, 10, 20 \): \( 4 + 10 < 20 \) (не подходит) 16. \( 4, 11, 20 \): \( 4 + 11 < 20 \) (не подходит) 17. \( 7, 10, 11 \): \( 7 + 10 = 17 > 11 \) (подходит) 18. \( 7, 10, 20 \): \( 7 + 10 < 20 \) (не подходит) 19. \( 7, 11, 20 \): \( 7 + 11 < 20 \) (не подходит) 20. \( 10, 11, 20 \): \( 10 + 11 > 20 \) (подходит) ### 4. Подсчет подходящих групп Теперь мы видим, что подходящие группы: 1. \( (4, 7, 10) \) 2. \( (4, 10, 11) \) 3. \( (7, 10, 11) \) 4. \( (10, 11, 20) \) Таким образом, количество различных разносторонних треугольников, которые можно составить из данных отрезков, равно **4**.