Контрольная работа № 3 по теме « Силы в механике» Вариант 13 1. На доске длиной 55 см лежит брусок. Коэффициент трения между доской и бруском равен 0,25. С каким ускорением будет…

Для решения задачи о движении бруска по наклонной поверхности, начнем с анализа ситуации.

Дано:

• Длина доски \( L = 55 \) см = \( 0,55 \) м
• Высота, на которую поднят один конец доски \( h = 25 \) см = \( 0,25 \) м
• Коэффициент трения между доской и бруском \( \mu = 0,25 \)

Шаг 1: Определение угла наклона

Для начала найдем угол наклона доски. Угол наклона \( \theta \) можно найти с помощью тригонометрии:

\[ \sin \theta = \frac{h}{L} = \frac{0,25}{0,55} \]

Для нахождения угла воспользуемся функцией арксинус:

\[ \theta = \arcsin\left(\frac{0,25}{0,55}\right) \]

Шаг 2: Силы, действующие на брусок

Когда брусок находится на наклонной доске, на него действуют следующие силы:

1. Сила тяжести \( \vec{F_g} = mg \) (где \( m \) — масса бруска, \( g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \)).
2. Сила нормальной реакции \( \vec{N} \).
3. Сила трения \( \vec{F_t} \).

Компоненты силы тяжести для наклонной плоскости:

• Сила, действующая вдоль наклона (составляющая): \( F_{\text{параллель}} = mg \sin \theta \)
• Нормальная сила: \( N = mg \cos \theta \)

Сила трения, направленная против движения, рассчитывается как: \[ F_t = \mu N = \mu mg \cos \theta \]

Шаг 3: Запись уравнения движения

По второму закону Ньютона \( F = ma \):

Суммарная сила, действующая вдоль наклона: \[ F_{\text{результ}} = F_{\text{параллель}} - F_t \] Подставим в уравнение движения:

\[ mg \sin(\theta) - \mu mg \cos(\theta) = ma \]

Шаг 4: Упрощение уравнения

Сокращаем \( m \) (предполагая, что масса бруска не равна нулю):

\[ g \sin(\theta) - \mu g \cos(\theta) = a \]

Теперь подставим найденные значения \( g \), \( \mu \), \( \sin \theta \) и \( \cos \theta \). Для этого нам потребуется вычислить \( \sin \theta \) и \( \cos \theta \) из отношения:

\[ \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \]

Шаг 5: Подставляем значения и рассчитываем ускорение

Вычислим:

1. Сначала найдем \( \sin \theta \) и \( \cos \theta \):

   • \( \sin \theta = \frac{0,25}{0,55} \approx 0,4545 \)
   • \( \cos \theta = \sqrt{1 - 0,4545^2} \approx 0,8910 \)

2. Теперь подставим \( g = 9,81 \, \text{м/с}^2 \), \( \mu = 0,25 \):

\[ a = 9,81 \cdot 0,4545 - 0,25 \cdot 9,81 \cdot 0,8910 \]

3. Рассчитаем каждую часть:

   • \( 9,81 \cdot 0,4545 \approx 4,47 \, \text{м/с}^2 \)
   • \( 0,25 \cdot 9,81 \cdot 0,8910 \approx 2,19 \, \text{м/с}^2 \)

4. Теперь найдём ускорение бруска:

\[ a \approx 4,47 - 2,19 \approx 2,28 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ:

Брусок будет скользить по доске с ускорением приблизительно \( 2,28 \, \text{м/с}^2 \).