При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19

Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Бернулли и биномиальное распределение.

Шаг 1: Определение параметров

Даны следующие параметры:

• Вероятность успеха при одном выстреле (поражения цели): \( p = 0.9 \)
• Количество выстрелов: \( n = 20 \)
• Нам необходимо найти вероятность того, что число удачных выстрелов (поражений) будет не менее 16 и не более 19: \( P(16 \leq X \leq 19) \), где \( X \) — число удачных выстрелов.

Шаг 2: Использование биномиального распределения

Число удачных выстрелов \( X \) в биномиальном эксперименте (в данном случае - стрельба) подчиняется биномиальному распределению и его вероятность можно рассчитать по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха (поражения цели)
• \( (1-p) \) — вероятность неудачи

Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждого случая

Теперь мы вычислим вероятности для \( k = 16, 17, 18, 19 \) и затем суммируем их.

1. Для \( k = 16 \): \[ P(X = 16) = C(20, 16) (0.9)^{16} (0.1)^{4} \] \[ C(20, 16) = C(20, 4) = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = 4845 \] \[ P(X = 16) = 4845 \cdot (0.9)^{16} \cdot (0.1)^{4} \]

2. Для \( k = 17 \): \[ P(X = 17) = C(20, 17) (0.9)^{17} (0.1)^{3} \] \[ C(20, 17) = C(20, 3) = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = 1140 \] \[ P(X = 17) = 1140 \cdot (0.9)^{17} \cdot (0.1)^{3} \]

3. Для \( k = 18 \): \[ P(X = 18) = C(20, 18) (0.9)^{18} (0.1)^{2} \] \[ C(20, 18) = C(20, 2) = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = 190 \] \[ P(X = 18) = 190 \cdot (0.9)^{18} \cdot (0.1)^{2} \]

4. Для \( k = 19 \): \[ P(X = 19) = C(20, 19) (0.9)^{19} (0.1)^{1} \] \[ C(20, 19) = C(20, 1) = 20 \] \[ P(X = 19) = 20 \cdot (0.9)^{19} \cdot (0.1)^{1} \]

Шаг 4: Подсчет вероятностей

Теперь подставим значения в формулы и выполните вычисления:

1. Для \( k = 16 \): \[ P(X = 16) = 4845 \cdot (0.9)^{16} \cdot (0.1)^{4} \approx 4845 \cdot 0.1073741824 \cdot 0.0001 \approx 0.052 \]

2. Для \( k = 17 \): \[ P(X = 17) = 1140 \cdot (0.9)^{17} \cdot (0.1)^{3} \approx 1140 \cdot 0.096889 \cdot 0.001 \approx 0.110 \]

3. Для \( k = 18 \): \[ P(X = 18) = 190 \cdot (0.9)^{18} \cdot (0.1)^{2} \approx 190 \cdot 0.087962 \cdot 0.01 \approx 0.167 \]

4. Для \( k = 19 \): \[ P(X = 19) = 20 \cdot (0.9)^{19} \cdot (0.1)^{1} \approx 20 \cdot 0.079488 \cdot 0.1 \approx 0.159 \]

Шаг 5: Суммирование вероятностей

Теперь нужно сложить все вероятности:

\[ P(16 \leq X \leq 19) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \] \[ \approx 0.052 + 0.110 + 0.167 + 0.159 \approx 0.488 \]

Ответ

Вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19, составляет примерно 0.488 или 48.8%.