Х³+х=0

Чтобы решить уравнение \( x^3 + x = 0 \), начнем с того, что можем вынести общий множитель. В данном случае это \( x \). 1. Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x^2 + 1) = 0 \] 2. Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен равняться нулю. Запишем два уравнения: - Первый множитель: \( x = 0 \) - Второй множитель: \( x^2 + 1 = 0 \) 3. Решение первого уравнения: \[ x = 0 \] 4. Теперь решим второе уравнение: \[ x^2 + 1 = 0 \] Переносим 1 на правую сторону: \[ x^2 = -1 \] Для того чтобы решить это уравнение, мы можем извлечь квадратный корень: \[ x = \pm \sqrt{-1} \] В математике \(\sqrt{-1}\) обозначается как \( i \) (мнимое число). Таким образом, у нас есть два комплексных решения: \[ x = i \quad \text{и} \quad x = -i \] 5. В итоге, у нас есть три решения для уравнения \( x^3 + x = 0 \): - \( x = 0 \) (реальное решение) - \( x = i \) (комплексное решение) - \( x = -i \) (комплексное решение) Таким образом, окончательно уравнение имеет три решения: \[ x = 0, \quad x = i, \quad x = -i \] Это и есть все решения заданного уравнения.