х³+х=0
Чтобы решить уравнение \( x^3 + x = 0 \), начнем с того, что можем вынести общий множитель. В данном случае это \( x \).
Вынесем \( x \) за скобки:
\[ x(x^2 + 1) = 0 \]
Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен равняться нулю. Запишем два уравнения:
- Первый множитель: \( x = 0 \)
- Второй множитель: \( x^2 + 1 = 0 \)
Решение первого уравнения:
\[ x = 0 \]
Теперь решим второе уравнение:
\[ x^2 + 1 = 0 \]
Переносим 1 на правую сторону:
\[ x^2 = -1 \]
Для того чтобы решить это уравнение, мы можем извлечь квадратный корень:
\[ x = \pm \sqrt{-1} \]
В математике \(\sqrt{-1}\) обозначается как \( i \) (мнимое число). Таким образом, у нас есть два комплексных решения:
\[ x = i \quad \text{и} \quad x = -i \]
В итоге, у нас есть три решения для уравнения \( x^3 + x = 0 \):
- \( x = 0 \) (реальное решение)
- \( x = i \) (комплексное решение)
- \( x = -i \) (комплексное решение)
Таким образом, окончательно уравнение имеет три решения:
\[ x = 0, \quad x = i, \quad x = -i \]
Это и есть все решения заданного уравнения.
