Найдите промежутки знакопостоянства функции y = x² - 4x + 3
Чтобы определить знакопостоянство функции \( y = x^2 - 4x + 3 \), нужно сначала найти корни уравнения, а затем исследовать, где функция принимает положительные и отрицательные значения.
Шаг 1: Найти корни функции
Уравнение можно решить, используя формулу для находжения корней квадратного уравнения:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \). Корни находятся по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Теперь найдем корни:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Это дает нам два корня:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 2: Исследовать знаки функции
Корни уравнения \( x = 1 \) и \( x = 3 \) делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Теперь узнаем знак функции на каждом из этих интервалов.
Интервал \( (-\infty, 1) \): Пусть \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \] Здесь функция положительна.
Интервал \( (1, 3) \): Пусть \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \] Здесь функция отрицательна.
Интервал \( (3, +\infty) \): Пусть \( x = 4 \): \[ y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \] Здесь функция положительна.
Шаг 3: Составление заключения
Таким образом, мы можем подвести итоги:
- Функция положительна на интервалах \( (-\infty, 1) \) и \( (3, +\infty) \).
- Функция отрицательна на интервале \( (1, 3) \).
Результат
Интервалы знакопостоянства функции \( y = x^2 - 4x + 3 \):
- Положительные: \( (-\infty, 1) \) и \( (3, +\infty) \)
- Отрицательный: \( (1, 3) \)
Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы или вам нужно объяснение других задач, не стесняйтесь спрашивать!
