Давайте решим задачу пошагово. Мы имеем идеальный колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности, и нам нужно определить напряжение на конденсаторе в определенный момент времени.
Дано:
- Амплитуда напряжения на конденсаторе ( U_0 = 8 \text{ мВ} )
- Амплитуда тока в катушке ( I_0 = 2.0 \text{ мА} )
- Сила тока в катушке в момент времени ( t ) составляет ( I = 1.2 \text{ мА} )
Шаг 1: Понимание колебательного контура
В идеальном колебательном контуре ток и напряжение колеблются с определенной частотой. Колебания можно описать с помощью синусоидальных функций.
Для тока в катушке (с учетом амплитуды):
[
I(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)
]
где:
- ( I_0 ) — амплитуда тока
- ( \omega ) — угловая частота
- ( \phi ) — начальная фаза
Аналогично, напряжение на конденсаторе можно записать как:
[
U(t) = U_0 \sin\left(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) = U_0 \cos(\omega t + \phi)
]
(где мы учли, что напряжение на конденсаторе опережает ток на 90 градусов).
Шаг 2: Найти угловую частоту и фазу
Из равенства для тока в момент времени ( t ):
[
I(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)
]
Подставим известные значения:
[
1.2 \text{ мА} = 2.0 \text{ мА} \cdot \sin(\omega t + \phi)
]
Отсюда:
[
\sin(\omega t + \phi) = \frac{1.2}{2.0} = 0.6
]
Теперь мы можем найти угол ( \omega t + \phi ) (например, используя арксинус):
[
\omega t + \phi = \arcsin(0.6) \approx 0.6435 \text{ рад}
]
Шаг 3: Найти напряжение в момент времени ( t )
Теперь, зная ( \omega t + \phi ), можно найти значение напряжения на конденсаторе:
[
U(t) = U_0 \cos(\omega t + \phi) = 8 \text{ мВ} \cdot \cos(0.6435)
]
Сначала найдем косинус:
[
\cos(0.6435) \approx 0.8 \quad (\text{примерно})
]
Теперь подставим это значение в уравнение для ( U(t) ):
[
U(t) \approx 8 \text{ мВ} \cdot 0.8 = 6.4 \text{ мВ}
]
Ответ:
Напряжение на конденсаторе в момент времени ( t ) составляет примерно 6.4 мВ.
