Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как ( a ) и ( b ). Из условия задачи мы знаем, что сумма катетов равна 20 см:
[
a + b = 20.
]
Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой:
[
S = \frac{1}{2}ab.
]
Чтобы выразить площадь через одну переменную, воспользуемся равенством суммы катетов:
[
b = 20 - a.
]
Теперь подставим это выражение в формулу площади:
[
S(a) = \frac{1}{2} a (20 - a) = \frac{1}{2} (20a - a^2).
]
Упростим:
[
S(a) = 10a - \frac{1}{2} a^2.
]
Теперь найдем максимальное значение функции площади ( S(a) ). Для этого найдем производную и приравняем её к нулю:
[
S'(a) = 10 - a.
]
Приравниваем к нулю:
[
10 - a = 0 \implies a = 10.
]
Так как ( a + b = 20 ), то ( b = 20 - a = 10 ).
Таким образом, длины катетов равны ( a = 10 ) см и ( b = 10 ) см.
Теперь найдем максимальную площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \text{ см}^2.
]
Длины катетов в возрастающей последовательности:
[
10 \text{ см}, 10 \text{ см}.
]
Максимальная площадь равна:
[
50 \text{ см}^2.
]
