R Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей. Катеты треугольника должны быть…

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). Из условия задачи мы знаем, что сумма катетов равна 20 см:

\[ a + b = 20. \]

Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой:

\[ S = \frac{1}{2}ab. \]

Чтобы выразить площадь через одну переменную, воспользуемся равенством суммы катетов:

\[ b = 20 - a. \]

Теперь подставим это выражение в формулу площади:

\[ S(a) = \frac{1}{2} a (20 - a) = \frac{1}{2} (20a - a^2). \]

Упростим:

\[ S(a) = 10a - \frac{1}{2} a^2. \]

Теперь найдем максимальное значение функции площади \( S(a) \). Для этого найдем производную и приравняем её к нулю:

\[ S'(a) = 10 - a. \]

Приравниваем к нулю:

\[ 10 - a = 0 \implies a = 10. \]

Так как \( a + b = 20 \), то \( b = 20 - a = 10 \).

Таким образом, длины катетов равны \( a = 10 \) см и \( b = 10 \) см.

Теперь найдем максимальную площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \text{ см}^2. \]

Длины катетов в возрастающей последовательности:

\[ 10 \text{ см}, 10 \text{ см}. \]

Максимальная площадь равна:

\[ 50 \text{ см}^2. \]