Даны 6 отрезков длины : 1;5;9;17;18;20 Сколько разносторонних треугольников можно составить из этих отрезков?

Чтобы определить, сколько разносторонних треугольников можно составить из заданных отрезков, необходимо помнить о правилах построения треугольника и условиях, при которых треугольник является разносторонним.

Шаг 1: Условия для треугольника

Для треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) справедливо условие, что сумма длин двух сторон должна быть больше длины третьей стороны: \[ a + b > c \] Это условие необходимо для всех возможных комбинаций трёх отрезков.

Шаг 2: Проверка наличия разносторонних треугольников

Треугольник является разносторонним, если все его стороны имеют разные длины. Сначала мы перечислим заданные отрезки:

• 1
• 5
• 9
• 17
• 18
• 20

Так как у нас все отрезки имеют разные длины, мы можем использовать все комбинации по 3 из 6 отрезков для поиска разносторонних треугольников.

Шаг 3: Выбор всех возможных комбинаций

Мы будем использовать сочетания (комбинации) для выбора 3 отрезков из 6. Количество таких сочетаний можно найти по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \(n\) — общее число отрезков, \(k\) — число отрезков в треугольнике.

В нашем случае \(n = 6\) и \(k = 3\): \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Таким образом, у нас есть 20 возможных троек.

Шаг 4: Проверка условия треугольника

Теперь нам нужно проверить каждую тройку отрезков, чтобы убедиться, что они удовлетворяют условию треугольника.

Перечислим все возможные комбинации и проверим их:

1. (1, 5, 9): 1 + 5 = 6 > 9 (не годится)
2. (1, 5, 17): 1 + 5 = 6 < 17 (не годится)
3. (1, 5, 18): 1 + 5 = 6 < 18 (не годится)
4. (1, 5, 20): 1 + 5 = 6 < 20 (не годится)
5. (1, 9, 17): 1 + 9 = 10 < 17 (не годится)
6. (1, 9, 18): 1 + 9 = 10 < 18 (не годится)
7. (1, 9, 20): 1 + 9 = 10 < 20 (не годится)
8. (1, 17, 18): 1 + 17 = 18 = 18 (не годится, равенство)
9. (1, 17, 20): 1 + 17 = 18 < 20 (не годится)
10. (1, 18, 20): 1 + 18 = 19 < 20 (не годится)

Теперь проверяем комбинации со стороны 5: 11. (5, 9, 17): 5 + 9 = 14 > 17 (не годится) 12. (5, 9, 18): 5 + 9 = 14 < 18 (не годится) 13. (5, 9, 20): 5 + 9 = 14 < 20 (не годится) 14. (5, 17, 18): 5 + 17 = 22 > 18 (годится) 15. (5, 17, 20): 5 + 17 = 22 > 20 (годится) 16. (5, 18, 20): 5 + 18 = 23 > 20 (годится)

Комбинации со стороной 9: 17. (9, 17, 18): 9 + 17 = 26 > 18 (годится) 18. (9, 17, 20): 9 + 17 = 26 > 20 (годится) 19. (9, 18, 20): 9 + 18 = 27 > 20 (годится)

И, наконец, комбинация с самыми большими отрезками: 20. (17, 18, 20): 17 + 18 = 35 > 20 (годится)

Шаг 5: Подсчёт

Итак, из перечисленных тройок следующие подходят:

• (5, 17, 18)
• (5, 17, 20)
• (5, 18, 20)
• (9, 17, 18)
• (9, 17, 20)
• (9, 18, 20)
• (17, 18, 20)

Всего 7 разносторонних треугольников можно составить из заданных отрезков.

Ответ

Из данных отрезков можно составить 7 разносторонних треугольников.