{3х+5у=4 {2х-3у=9
Давайте решим систему уравнений:
Первое уравнение: \( 3x + 5y = 4 \)
Второе уравнение: \( 2x - 3y = 9 \)
В нашей задаче у нас есть две переменные: \( x \) и \( y \), и мы хотим найти их значения. Для этого мы можем использовать метод подстановки или метод алгебраического сложения (метод исключения). Я выберу метод исключения.
Шаг 1: Подготовка уравнений для сложения
Сначала умножим второе уравнение на 5, чтобы при сложении уравнений избавиться от \( y \):
\[ 5(2x - 3y) = 5 \cdot 9 \]
Это дает нам:
\[ 10x - 15y = 45 \tag{1} \]
Теперь у нас есть:
- \( 3x + 5y = 4 \) (Исходное первое уравнение)
- \( 10x - 15y = 45 \) (Умноженное второе уравнение)
Шаг 2: Умножим первое уравнение
Теперь умножим первое уравнение на 3, чтобы привести его к такому же виду, как второе:
\[ 3(3x + 5y) = 3 \cdot 4 \]
Это даст нам:
\[ 9x + 15y = 12 \tag{2} \]
Шаг 3: Сложение уравнений
Теперь у нас есть два уравнения:
- \( 9x + 15y = 12 \) (Умноженное первое уравнение)
- \( 10x - 15y = 45 \) (Умноженное второе уравнение)
Мы можем сложить эти уравнения, чтобы избавиться от \( y \):
\[ (9x + 15y) + (10x - 15y) = 12 + 45 \]
Это упрощается до:
\[ 19x = 57 \]
Шаг 4: Найдем \( x \)
Теперь можем найти \( x \):
\[ x = \frac{57}{19} = 3 \]
Шаг 5: Подставим \( x \) в одно из уравнений
Теперь, когда мы знаем \( x \), подставим его в одно из исходных уравнений, чтобы найти \( y \). Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение:
\[ 3(3) + 5y = 4 \]
Это становится:
\[ 9 + 5y = 4 \]
Вычтем 9 из обеих сторон:
\[ 5y = 4 - 9 \] \[ 5y = -5 \]
Теперь разделим обе стороны на 5:
\[ y = -1 \]
Ответ
Таким образом, мы нашли, что
\[ x = 3, \quad y = -1 \]
Если подставить эти значения обратно в оба уравнения, мы можем проверить их:
Для первого уравнения:
\[ 3(3) + 5(-1) = 9 - 5 = 4 \quad \text{(верно)} \]
Для второго уравнения:
\[ 2(3) - 3(-1) = 6 + 3 = 9 \quad \text{(верно)} \]
Таким образом, система уравнений решена правильно, и ответ:
\[ \boxed{(3, -1)} \]
