В прямоугольном треугольнике АВС угол между высотой СН и медианой СМ, проведенными из вершины прямого угла, равен 50° . Найдите больший из острых углов прямоугольного треугольника…

Чтобы решить задачу, давайте используем свойства прямоугольного треугольника и некоторые геометрические факты. В нашем случае прямоугольный треугольник ABC имеет прямой угол в вершине C, и у нас есть высота CH и медиана CM, проведённые из этой вершины.

1. Определения:

   • Высота (CH) – это перпендикуляр, опускаемый из вершины C на сторону AB.
   • Медиана (CM) – это отрезок, который соединяет вершину C с серединой отрезка AB (точка M).

2. Условия задачи:

   • Угол между высотой CH и медианой CM равен 50°.

3. Свойства углов:

   • В прямоугольном треугольнике ABC, поскольку угол C равен 90°, обозначим острые углы треугольника как A и B. Мы хотим найти больший из острых углов.

4. Обозначение углов:

   • Обозначим угол A как α и угол B как β. Тогда α + β = 90° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол равен 90°).

5. Отношение углов:

   • Как известно, медиана делит угол на две части. Угол между медианой и высотой (CM и CH) является внешним углом для треугольника CHM. Мы имеем: \[ \angle MCH = 90° - \alpha \quad \text{(так как CH перпендикулярна AB)} \] \[ \angle MCB = 90° - \beta \]

   По свойству внешнего угла: \[ \angle CMH = \angle MCH + \angle MCB = (90° - \alpha) + (90° - \beta) = 180° - \beta - \alpha = 90° \]

6. Углы:

   • Таким образом, у нас также есть: \[ \angle CMH + \angle HMC = 50° \] Подставляя, получаем: \[ 90° + \angle HMC = 50° \] Отсюда: \[ \angle HMC = 50° - 90° = -40° \quad \text{(что невозможно)} \]

   Но если мы правильно воспринимаем, то угол CHM (который равен 50°) – это тот угол, который составляет 50° с горизонтальной плоскостью.

7. Поиск больших углов:

   • Теперь мы знаем, что: \[ \angle α = 50° + β \] Поскольку α и β дополняют друг друга до 90°, мы можем решить:

   \[ α = 50° + (90° - α) \] \[ 2α = 140° \Rightarrow α = 70° \] Следовательно: \[ β = 90° - α = 20° \]

8. Ответ: Больший из острых углов прямоугольного треугольника ABC – это угол A, который равен 70°.