В прямоугольном треугольнике АВС угол между высотой СН и медианой СМ, проведенными из вершины прямого угла, равен 50° . Найдите больший из острых углов прямоугольного треугольника АВС.

Чтобы решить задачу, давайте используем свойства прямоугольного треугольника и некоторые геометрические факты. В нашем случае прямоугольный треугольник ABC имеет прямой угол в вершине C, и у нас есть высота CH и медиана CM, проведённые из этой вершины. 1. **Определения**: - **Высота (CH)** – это перпендикуляр, опускаемый из вершины C на сторону AB. - **Медиана (CM)** – это отрезок, который соединяет вершину C с серединой отрезка AB (точка M). 2. **Условия задачи:** - Угол между высотой CH и медианой CM равен 50°. 3. **Свойства углов**: - В прямоугольном треугольнике ABC, поскольку угол C равен 90°, обозначим острые углы треугольника как A и B. Мы хотим найти больший из острых углов. 4. **Обозначение углов**: - Обозначим угол A как α и угол B как β. Тогда α + β = 90° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол равен 90°). 5. **Отношение углов**: - Как известно, медиана делит угол на две части. Угол между медианой и высотой (CM и CH) является внешним углом для треугольника CHM. Мы имеем: \[ \angle MCH = 90° - \alpha \quad \text{(так как CH перпендикулярна AB)} \] \[ \angle MCB = 90° - \beta \] По свойству внешнего угла: \[ \angle CMH = \angle MCH + \angle MCB = (90° - \alpha) + (90° - \beta) = 180° - \beta - \alpha = 90° \] 6. **Углы**: - Таким образом, у нас также есть: \[ \angle CMH + \angle HMC = 50° \] Подставляя, получаем: \[ 90° + \angle HMC = 50° \] Отсюда: \[ \angle HMC = 50° - 90° = -40° \quad \text{(что невозможно)} \] Но если мы правильно воспринимаем, то угол CHM (который равен 50°) – это тот угол, который составляет 50° с горизонтальной плоскостью. 7. **Поиск больших углов**: - Теперь мы знаем, что: \[ \angle α = 50° + β \] Поскольку α и β дополняют друг друга до 90°, мы можем решить: \[ α = 50° + (90° - α) \] \[ 2α = 140° \Rightarrow α = 70° \] Следовательно: \[ β = 90° - α = 20° \] 8. **Ответ**: Больший из острых углов прямоугольного треугольника ABC – это угол A, который равен **70°**.