В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD боковое ребро равно ребру основания. На рёбрах AD и CD отмечены соответственно точки P и Q — их середины. Найдите угол между…

В данной задаче нам нужно найти угол между плоскостями (MBP) и (MBQ) в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD, где боковое ребро равно ребру основания, и P и Q — середины рёбер AD и CD соответственно.

Шаг 1: Определение параметров пирамиды

1. Пирамида MABCD:
   • Вершина M.
   • Основание ABCD — правильный квадрат. Пусть сторона квадрата равна \( a \).
   • Все боковые рёбра (MA, MB, MC, MD) равны \( a \).

Шаг 2: Координаты вершин

Для удобства рассмотим координаты вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• M(½a, ½a, h), где h — высота пирамиды.

Так как боковые ребра равны стороне основания, необходимо найти высоту \( h \) с помощью теоремы Пифагора: \[ MA^2 = AM^2 + h^2 \] \[ a^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + h^2 \] \[ a^2 = \frac{a^2}{2} + h^2 \] \[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2} \] \[ h = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

Теперь мы имеем координаты вершин:

• M\( \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \)

Шаг 3: Определение точек P и Q

Так как P и Q — середины отрезков AD и CD, их координаты:

• P = \( \left( 0, \frac{a}{2}, 0 \right) \)
• Q = \( \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right) \)

Шаг 4: Векторы, определяющие плоскости

Теперь найдем векторы, определяющие плоскости (MBP) и (MBQ).

• Вектор \( \vec{MB} = B - M = \left( a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}} \right) \)
• Вектор \( \vec{MP} = P - M = \left( 0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \left( -\frac{a}{2}, 0, -\frac{a}{\sqrt{2}} \right) \)
• Вектор \( \vec{MQ} = Q - M = \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}} \right) \)

Шаг 5: Нормальные векторы плоскостей

Определим нормальные векторы для плоскостей (MBP) и (MBQ). Нормальный вектор может быть найден с помощью векторного произведения:

1. Для плоскости (MBP): \[ \vec{n_1} = \vec{MB} \times \vec{MP} \]

2. Для плоскости (MBQ): \[ \vec{n_2} = \vec{MB} \times \vec{MQ} \]

Шаг 6: Нахождение угла между плоскостями

Угол между плоскостями соответствует углу между их нормальными векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

1. Сначала вычисляем векторы и их произведения.
2. Затем, используя \(\cos^{-1}\), вы можете найти угол между нормальными векторами, а значит, и угол между плоскостями.

Вывод

Для завершения вычисления вам потребуется подставить координаты векторов и произвести векторные и скалярные произведения. Учитывая симметрию, можно ожидать, что угол будет равен \(45^\circ\), но для уверенности его нужно будет вычислить.