Построй график функции y = ∣ x ∣ ( 2 x − 1 ) − 3 x y=∣x∣(2x−1)−3x и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…

Чтобы построить график функции \( y = |x|(2x - 1) - 3x \) и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки, мы пройдём по нескольким шагам.

Шаг 1: Анализ функции

Разделим нашу функцию на два случая, в зависимости от знака \( x \):

1. Если \( x \geq 0 \): \[ y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x \] Тогда, функция упрощается до: \[ y = 2x^2 - 4x \]

2. Если \( x < 0 \): Здесь \( |x| = -x \), поэтому: \[ y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x \] Функция упрощается до: \[ y = -2x^2 - 2x \]

Теперь мы имеем две части функции:

• Для \( x \geq 0 \): \( y = 2x^2 - 4x \)
• Для \( x < 0 \): \( y = -2x^2 - 2x \)

Шаг 2: Построение графика

Для \( x \geq 0 \):

Функция \( y = 2x^2 - 4x \) – это парабола, открывающаяся вверх. Определим её координаты вершины по формуле: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \] Теперь подставим \( x = 1 \), чтобы найти \( y \): \[ y_{в} = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -2) \).

Для \( x < 0 \):

Функция \( y = -2x^2 - 2x \) – это парабола, открывающаяся вниз. Точка вершины: \[ x_{в} = -\frac{-2}{2 \cdot -2} = -\frac{1}{2} \] Подставим это значение, чтобы найти соответствующий \( y \): \[ y_{в} = -2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \] Вершина этой параболы находится в точке \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \).

Шаг 3: Определение количества общих точек

Для того чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком функции, необходимо, чтобы линия пересекала параболу \( y = 2x^2 - 4x \) и параболу \( y = -2x^2 - 2x \) ровно в две точки всего.

• Для параболы \( 2x^2 - 4x = m \) у нас получится стандартное квадратное уравнение: \[ 2x^2 - 4x - m = 0 \] Для двух различных корней дискриминант должен быть положительным: \[ D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 16 + 8m > 0 \] \[ 8m > -16 \implies m > -2 \]

• Для параболы \( -2x^2 - 2x = m \): \[ -2x^2 - 2x - m = 0 \] Здесь дискриминант также должен быть положительным: \[ D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-m) = 4 - 8m > 0 \] \[ 4 - 8m > 0 \implies m < \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Итоговые значения \( m \)

Таким образом, чтобы прямая \( y = m \) имела с графиком функции ровно две общие точки, должно выполняться: \[ -2 < m < \frac{1}{2} \]

В итоге, компактно запишем ответ: \(-2< m < \frac{1}{2}\).

Значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересечет график функции ровно в двух точках формально выражаются как \( (-2, 0.5) \). Если нужно указать только целые числа, то: \(-1, 0\).

Ответ: \(-1,0\).