Чтобы построить график функции ( y = |x|(2x - 1) - 3x ) и определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно две общие точки, мы пройдём по нескольким шагам.
Шаг 1: Анализ функции
Разделим нашу функцию на два случая, в зависимости от знака ( x ):
Если ( x \geq 0 ):
[
y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x
]
Тогда, функция упрощается до:
[
y = 2x^2 - 4x
]
Если ( x < 0 ):
Здесь ( |x| = -x ), поэтому:
[
y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x
]
Функция упрощается до:
[
y = -2x^2 - 2x
]
Теперь мы имеем две части функции:
- Для ( x \geq 0 ): ( y = 2x^2 - 4x )
- Для ( x < 0 ): ( y = -2x^2 - 2x )
Шаг 2: Построение графика
Для ( x \geq 0 ):
Функция ( y = 2x^2 - 4x ) – это парабола, открывающаяся вверх. Определим её координаты вершины по формуле:
[
x_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
]
Теперь подставим ( x = 1 ), чтобы найти ( y ):
[
y_{в} = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2
]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, -2) ).
Для ( x < 0 ):
Функция ( y = -2x^2 - 2x ) – это парабола, открывающаяся вниз. Точка вершины:
[
x_{в} = -\frac{-2}{2 \cdot -2} = -\frac{1}{2}
]
Подставим это значение, чтобы найти соответствующий ( y ):
[
y_{в} = -2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}
]
Вершина этой параболы находится в точке ( \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) ).
Шаг 3: Определение количества общих точек
Для того чтобы прямая ( y = m ) имела ровно две общие точки с графиком функции, необходимо, чтобы линия пересекала параболу ( y = 2x^2 - 4x ) и параболу ( y = -2x^2 - 2x ) ровно в две точки всего.
Для параболы ( 2x^2 - 4x = m ) у нас получится стандартное квадратное уравнение:
[
2x^2 - 4x - m = 0
]
Для двух различных корней дискриминант должен быть положительным:
[
D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 16 + 8m > 0
]
[
8m > -16 \implies m > -2
]
Для параболы ( -2x^2 - 2x = m ):
[
-2x^2 - 2x - m = 0
]
Здесь дискриминант также должен быть положительным:
[
D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-m) = 4 - 8m > 0
]
[
4 - 8m > 0 \implies m < \frac{1}{2}
]
Шаг 4: Итоговые значения ( m )
Таким образом, чтобы прямая ( y = m ) имела с графиком функции ровно две общие точки, должно выполняться:
[
-2 < m < \frac{1}{2}
]
В итоге, компактно запишем ответ:
(-2< m < \frac{1}{2}).
Значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) пересечет график функции ровно в двух точках формально выражаются как ( (-2, 0.5) ). Если нужно указать только целые числа, то:
(-1, 0).
Ответ: (-1,0).
