Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой для полного графа. Полный граф с ( n ) вершинами обозначается как ( K_n ), и количество рёбер в полном графе можно вычислить по следующей формуле:
[
E = \frac{n(n - 1)}{2}
]
где:
- ( E ) — количество рёбер,
- ( n ) — количество вершин в графе.
В вашей задаче указано, что в полном графе 171 рёбер. Таким образом, мы можем подставить это значение в формулу и решить уравнение:
[
171 = \frac{n(n - 1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
342 = n(n - 1)
]
Теперь преобразуем уравнение:
[
n(n - 1) - 342 = 0
]
Это квадратное уравнение, которое можно привести к стандартному виду:
[
n^2 - n - 342 = 0
]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант высчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Где ( a = 1, b = -1, c = -342 ). Подставим значения:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-342) = 1 + 1368 = 1369
]
Теперь находим корни квадратного уравнения по формуле:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1369}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 37}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для ( n ):
- ( n = \frac{38}{2} = 19 )
- ( n = \frac{-36}{2} = -18 ) (это значение не может быть, так как количество вершин не может быть отрицательным).
Таким образом, количество вершин в графе ( K_n ) равно ( n = 19 ).
Ответ: В полном графе с 171 рёбер будет 19 вершин.
