Для решения этой задачи нужно понять, как работает вероятность в контексте нескольких независимых событий. Лёша делает 6 закидываний удочки, и нам нужно найти вероятность того, что он поймает рыбу только при втором и пятом закидывании.
Шаг 1: Определим явные события
- События, при которых Лёша поймает рыбу: Вероятность поймать рыбу за одно закидывание равна ( p = \frac{1}{4} ).
- События, при которых Лёша не поймает рыбу: Вероятность не поймать рыбу равна ( 1 - p = \frac{3}{4} ).
Шаг 2: Анализ ситуации
Нам нужно, чтобы в следующем порядке произошли события:
- Не поймать рыбу при первом закидывании (номер 1).
- Поймать рыбу при втором закидывании (номер 2).
- Не поймать рыбу при третьем (номер 3), четвёртом (номер 4) закидываниях.
- Поймать рыбу при пятом закидывании (номер 5).
- Не поймать рыбу при шестом закидывании (номер 6).
Шаг 3: Запись формулы
Таким образом, нужная нам вероятность будет равна произведению вероятностей для каждого закидывания:
[
P = P(\text{не поймать 1}) \times P(\text{поймать 2}) \times P(\text{не поймать 3}) \times P(\text{не поймать 4}) \times P(\text{поймать 5}) \times P(\text{не поймать 6})
]
Шаг 4: Подстановка значений
Теперь подставим вероятности:
- ( P(\text{не поймать 1}) = \frac{3}{4} )
- ( P(\text{поймать 2}) = \frac{1}{4} )
- ( P(\text{не поймать 3}) = \frac{3}{4} )
- ( P(\text{не поймать 4}) = \frac{3}{4} )
- ( P(\text{поймать 5}) = \frac{1}{4} )
- ( P(\text{не поймать 6}) = \frac{3}{4} )
Итак, подставим:
[
P = \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right)
]
Шаг 5: Рассчитаем общее произведение
Теперь давайте посчитаем:
Сначала умножим вероятности для пойманных рыб:
[
\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}
]
Умножим вероятности для непойманных рыб:
[
\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}
]
Теперь сочетая оба результата, найдем окончательную вероятность:
[
P = \frac{81}{256} \times \frac{1}{16} = \frac{81}{4096}
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что Лёша поймает рыбу только при втором и пятом закидывании, равна ( \frac{81}{4096} ).
