Найди первый член арифметической прогрессии, если d = 14, а сумма первых семнадцати членов прогрессии равна — 731.

Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии (АП) выглядит следующим образом:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d) \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( d \) — разность прогрессии,
• \( n \) — количество членов.

В вашем случае:

• \( S_{17} = 731 \),
• \( n = 17 \),
• \( d = 14 \).

Подставим эти значения в формулу:

\[ 731 = \frac{17}{2} \cdot (2a + (17-1) \cdot 14) \]

Упростим:

\[ 731 = \frac{17}{2} \cdot (2a + 16 \cdot 14) \]

Рассчитаем \( 16 \cdot 14 \):

\[ 16 \cdot 14 = 224 \]

Тогда формула превратится в:

\[ 731 = \frac{17}{2} \cdot (2a + 224) \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 1462 = 17 \cdot (2a + 224) \]

Теперь разделим обе стороны на 17:

\[ \frac{1462}{17} = 2a + 224 \]

Вычислим \( \frac{1462}{17} \):

\[ \frac{1462}{17} = 86 \]

Таким образом, у нас есть:

\[ 86 = 2a + 224 \]

Теперь выразим \( 2a \):

\[ 2a = 86 - 224 \]

\[ 2a = -138 \]

Найдем \( a \):

\[ a = \frac{-138}{2} = -69 \]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \( -69 \).