y=3x²-10x-8 наибольшее и наименьшее значение. промежутки возрастания и убывания функций.
Давайте разберем, как найти наибольшее и наименьшее значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания. Мы будем работать с функцией \(y = 3x^2 - 10x - 8\).
Шаг 1: Найти производную функции
Для начала нам нужно найти производную функции, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает. Производная функции \(y\) обозначается как \(y'\) и рассчитывается следующим образом:
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 10x - 8) = 6x - 10 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение \(y' = 0\):
\[ 6x - 10 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ 6x = 10 \\ x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]
Шаг 3: Определить интервалы возрастания и убывания
Теперь мы проверим, на каких интервалах функция возрастает или убывает, подставляя значения x в производную \(y'\).
Выберем значение \(x < \frac{5}{3}\), например, \(x = 0\): \[ y' = 6(0) - 10 = -10 \quad (\text{меньше 0, значит функция убывает}) \]
Выберем значение \(x > \frac{5}{3}\), например, \(x = 2\): \[ y' = 6(2) - 10 = 12 - 10 = 2 \quad (\text{больше 0, значит функция возрастает}) \]
Таким образом, у нас есть следующие интервалы:
- Функция убывает на интервале \((- \infty, \frac{5}{3})\)
- Функция возрастает на интервале \((\frac{5}{3}, +\infty)\)
Шаг 4: Найти наибольшее и наименьшее значение
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции необходимо подставить критическую точку \(x = \frac{5}{3}\) в исходное уравнение \(y\):
\[ y\left(\frac{5}{3}\right) = 3\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 10\left(\frac{5}{3}\right) - 8 \]
Прежде чем подставлять, вычислим \( \left(\frac{5}{3}\right)^2 \):
\[ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \]
Теперь подставляем в уравнение:
\[ y\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \times \frac{25}{9} - 10 \times \frac{5}{3} - 8 = \frac{75}{9} - \frac{50}{3} - 8 \]
Преобразуем второе слагаемое:
\(-\frac{50}{3} = -\frac{150}{9}\) и \(-8 = -\frac{72}{9}\).
Теперь складываем все слагаемые:
\[ y\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{75}{9} - \frac{150}{9} - \frac{72}{9} = \frac{75 - 150 - 72}{9} = \frac{-147}{9} \]
Теперь, после упрощения:
\[ y\left(\frac{5}{3}\right) = -\frac{49}{3} \]
Итог:
- Наименьшее значение функции \(y\) достигается в точке \(x = \frac{5}{3}\) и равно \(-\frac{49}{3}\).
- Наибольшего значения функция не имеет, так как она возрастает до бесконечности.
- Функция убывает на интервале \((- \infty, \frac{5}{3})\) и возрастает на интервале \((\frac{5}{3}, +\infty)\).
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
