Y=3x²-10x-8 наибольшее и наименьшее значение. промежутки возрастания и убывания функций.

Давайте разберем, как найти наибольшее и наименьшее значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания. Мы будем работать с функцией \(y = 3x^2 - 10x - 8\). ### Шаг 1: Найти производную функции Для начала нам нужно найти производную функции, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает. Производная функции \(y\) обозначается как \(y'\) и рассчитывается следующим образом: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 10x - 8) = 6x - 10 \] ### Шаг 2: Найти критические точки Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение \(y' = 0\): \[ 6x - 10 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ 6x = 10 \\ x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] ### Шаг 3: Определить интервалы возрастания и убывания Теперь мы проверим, на каких интервалах функция возрастает или убывает, подставляя значения x в производную \(y'\). 1. Выберем значение \(x < \frac{5}{3}\), например, \(x = 0\): \[ y' = 6(0) - 10 = -10 \quad (\text{меньше 0, значит функция убывает}) \] 2. Выберем значение \(x > \frac{5}{3}\), например, \(x = 2\): \[ y' = 6(2) - 10 = 12 - 10 = 2 \quad (\text{больше 0, значит функция возрастает}) \] Таким образом, у нас есть следующие интервалы: - Функция убывает на интервале \((- \infty, \frac{5}{3})\) - Функция возрастает на интервале \((\frac{5}{3}, +\infty)\) ### Шаг 4: Найти наибольшее и наименьшее значение Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции необходимо подставить критическую точку \(x = \frac{5}{3}\) в исходное уравнение \(y\): \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = 3\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 10\left(\frac{5}{3}\right) - 8 \] Прежде чем подставлять, вычислим \( \left(\frac{5}{3}\right)^2 \): \[ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \] Теперь подставляем в уравнение: \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \times \frac{25}{9} - 10 \times \frac{5}{3} - 8 = \frac{75}{9} - \frac{50}{3} - 8 \] Преобразуем второе слагаемое: \(-\frac{50}{3} = -\frac{150}{9}\) и \(-8 = -\frac{72}{9}\). Теперь складываем все слагаемые: \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{75}{9} - \frac{150}{9} - \frac{72}{9} = \frac{75 - 150 - 72}{9} = \frac{-147}{9} \] Теперь, после упрощения: \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = -\frac{49}{3} \] ### Итог: - **Наименьшее значение** функции \(y\) достигается в точке \(x = \frac{5}{3}\) и равно \(-\frac{49}{3}\). - **Наибольшего значения** функция не имеет, так как она возрастает до бесконечности. - **Функция убывает** на интервале \((- \infty, \frac{5}{3})\) и **возрастает** на интервале \((\frac{5}{3}, +\infty)\). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!