Реши способом подстановки систему уравнений: { x − y = 1 1 y − 1 x = 1 72 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x−y=1 y 1 − x 1 = 72 1
Чтобы решить систему уравнений, воспользуемся методом подстановки. Рассмотрим вашу систему уравнений:
\( x - y = 1 \)
\( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 72 \)
Шаг 1: Изолируем одну переменную в первом уравнении.
Из первого уравнения выразим \( x \) через \( y \):
\[ x = y + 1 \]
Шаг 2: Подставляем выражение для \( x \) во второе уравнение.
Теперь подставим \( x \) из первого уравнения во второе уравнение:
\[ \frac{1}{y} - \frac{1}{y + 1} = 72 \]
Шаг 3: Объединим дроби.
Чтобы объединить дроби, найдём общий знаменатель. Общим знаменателем будет \( y(y + 1) \):
\[ \frac{(y + 1) - y}{y(y + 1)} = 72 \]
Сократив, получаем:
\[ \frac{1}{y(y + 1)} = 72 \]
Шаг 4: Решим уравнение.
Умножим обе стороны на \( y(y + 1) \):
\[ 1 = 72y(y + 1) \]
Перепишем это в виде уравнения:
\[ 72y^2 + 72y - 1 = 0 \]
Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 72 \), \( b = 72 \), \( c = -1 \). Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 72^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-1) = 5184 + 288 = 5472 \]
Теперь найдем квадратный корень из \( D \):
\[ \sqrt{5472} = 2\sqrt{1368} = 12\sqrt{38} \quad (\text{так как } 5472 = 144 \cdot 38) \]
Теперь можем найти \( y \):
\[ y = \frac{{-72 \pm 12\sqrt{38}}}{144} = \frac{{-1 \pm \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \]
Шаг 6: Находим \( x \).
Для каждого значения \( y \) найдем соответствующее значение \( x \), используя \( x = y + 1 \).
Для \( y_1 = \frac{{-1 + \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \):
\[ x_1 = \frac{{-1 + \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} + 1 = \frac{{1 + \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \]
Для \( y_2 = \frac{{-1 - \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \):
\[ x_2 = \frac{{-1 - \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} + 1 = \frac{{1 - \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \]
Шаг 7: Записываем окончательный ответ.
Итак, решение системы уравнений:
\( x = \frac{{1 + \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2}, y = \frac{{-1 + \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \)
\( x = \frac{{1 - \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2}, y = \frac{{-1 - \frac{1}{12}\sqrt{38}}}{2} \)
Эти значения представляют собой два возможных решения данной системы уравнений.
