Игрок бросает игральную кость до тех пор пока не выпадет пятёрка. Найди вероятность того что ему потребуется три или четыре броска

Для решения этой задачи определим случай, когда игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет пятёрка. Мы будем рассматривать ситуацию, когда нам нужно узнать вероятность того, что пятёрка выпадет на третьем или четвёртом броске. ### Шаг 1: Определим вероятности У игральной кости 6 граней, и только одна из них — это пятёрка. Следовательно: - Вероятность того, что на каждом броске выпадет пятёрка (успех): \( P(\text{успех}) = \frac{1}{6} \) - Вероятность того, что на каждом броске не выпадет пятёрка (неуспех): \( P(\text{неуспех}) = \frac{5}{6} \) ### Шаг 2: Вычислим вероятность для третьего броска Чтобы пятёрка выпала именно на третьем броске, нужно: 1. На первом броске не выпасть пятёрке: \( P(\text{неуспех}) = \frac{5}{6} \) 2. На втором броске не выпасть пятёрке: \( P(\text{неуспех}) = \frac{5}{6} \) 3. На третьем броске выпасть пятёрке: \( P(\text{успех}) = \frac{1}{6} \) Умножаем эти вероятности: \[ P(\text{пятёрка на третьем броске}) = P(\text{неуспех}) \times P(\text{неуспех}) \times P(\text{успех}) = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) \] Теперь считаем: \[ P(\text{пятёрка на третьем броске}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \] ### Шаг 3: Вычислим вероятность для четвёртого броска Чтобы пятёрка выпала именно на четвёртом броске, нужно: 1. На первом броске не выпасть пятёрке: \( P(\text{неуспех}) = \frac{5}{6} \) 2. На втором броске не выпасть пятёрке: \( P(\text{неуспех}) = \frac{5}{6} \) 3. На третьем броске не выпасть пятёрке: \( P(\text{неуспех}) = \frac{5}{6} \) 4. На четвёртом броске выпасть пятёрке: \( P(\text{успех}) = \frac{1}{6} \) Умножаем эти вероятности: \[ P(\text{пятёрка на четвёртом броске}) = P(\text{неуспех}) \times P(\text{неуспех}) \times P(\text{неуспех}) \times P(\text{успех}) = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) \] Теперь считаем: \[ P(\text{пятёрка на четвёртом броске}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \] ### Шаг 4: Найдем общую вероятность Теперь мы можем найти общую вероятность того, что пятёрка выпадет на третьем или четвёртом броске: \[ P(\text{пятёрка на третьем или четвёртом броске}) = P(\text{пятёрка на третьем броске}) + P(\text{пятёрка на четвёртом броске}) \] Подставим найденные результаты: \[ P(\text{пятёрка на третьем или четвёртом броске}) = \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} \] Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю: 1. \( \frac{25}{216} = \frac{25 \times 6}{216 \times 6} = \frac{150}{1296} \) 2. Теперь складываем: \[ P(\text{пятёрка на третьем или четвёртом броске}) = \frac{150}{1296} + \frac{125}{1296} = \frac{275}{1296} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что игроку потребуется три или четыре броска, чтобы выбросить пятёрку, равна \( \frac{275}{1296} \).