В трапеции АBCD ∠A=∠B=90°, АВ=2 см, ВС=4 см, АС=DC. Чему равна площадь трапеции?

Давайте решим задачу о площади трапеции с углами ∠A и ∠B равными 90°. Поскольку у нас есть информация о боковых сторонах и равенстве некоторых отрезков, мы можем использовать это для нахождения площади. 1. **Изображение трапеции:** У нас есть трапеция ABCD, где ∠A и ∠B равны 90°, что означает, что AB и AD являются перпендикулярными сторонами, а BC и CD — параллельными (и равными, по заданию). 2. **Данные:** - AB = 2 см (одна из высот) - BC = 4 см (другая параллельная сторона, но длина этой стороны нам не нужна напрямую для вычисления) - AC = DC (по условию задачи) 3. **Определим стороны:** Так как AB и CD — это параллельные стороны, и у нас прямые углы, можем сказать, что сторона AD равна высоте трапеции, которая равна длине AB. 4. **Углы треугольника ABC:** По двум катетам AB и BC мы увидим, что треугольник ABC — прямоугольный: - AB = 2 см (катет) - BC = 4 см (катет) Мы можем найти длину гипотенузы AC с помощью теоремы Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см} \] 5. **Сторона CD:** Так как AC = DC по условию, то длина DC также равна \(2\sqrt{5} \text{ см}\). 6. **Площадь трапеции (формула):** Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \] где \(h\) — высота, в данном случае это длина AB, равная 2 см. 7. **Подставим известные значения:** \[ S = \frac{(2 + 2\sqrt{5}) \cdot 2}{2} \] \[ S = (2 + 2\sqrt{5}) \cdot 1 = 2 + 2\sqrt{5} \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(2 + 2\sqrt{5} \text{ см}^2\).