В трапеции АBCD ∠A=∠B=90°, АВ=2 см, ВС=4 см, АС=DC. Чему равна площадь трапеции?

Давайте решим задачу о площади трапеции с углами ∠A и ∠B равными 90°. Поскольку у нас есть информация о боковых сторонах и равенстве некоторых отрезков, мы можем использовать это для нахождения площади.

1. Изображение трапеции:
   У нас есть трапеция ABCD, где ∠A и ∠B равны 90°, что означает, что AB и AD являются перпендикулярными сторонами, а BC и CD — параллельными (и равными, по заданию).

2. Данные:

   • AB = 2 см (одна из высот)
   • BC = 4 см (другая параллельная сторона, но длина этой стороны нам не нужна напрямую для вычисления)
   • AC = DC (по условию задачи)

3. Определим стороны: Так как AB и CD — это параллельные стороны, и у нас прямые углы, можем сказать, что сторона AD равна высоте трапеции, которая равна длине AB.

4. Углы треугольника ABC:
   По двум катетам AB и BC мы увидим, что треугольник ABC — прямоугольный:

   • AB = 2 см (катет)
   • BC = 4 см (катет)

   Мы можем найти длину гипотенузы AC с помощью теоремы Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см} \]

5. Сторона CD:
   Так как AC = DC по условию, то длина DC также равна \(2\sqrt{5} \text{ см}\).

6. Площадь трапеции (формула):
   Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \] где \(h\) — высота, в данном случае это длина AB, равная 2 см.

7. Подставим известные значения:
   \[ S = \frac{(2 + 2\sqrt{5}) \cdot 2}{2} \] \[ S = (2 + 2\sqrt{5}) \cdot 1 = 2 + 2\sqrt{5} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(2 + 2\sqrt{5} \text{ см}^2\).