Решение для 7 класса

Давайте решим задачу шаг за шагом. **Условие:** 1. Прямоугольник \(ABCD\). 2. \(E\) — середина стороны \(CD\). 3. На стороне \(BC\) есть точка \(K\), такая что угол \(AEK = 90^\circ\). 4. Дано \(BK = 5\) и \(CK = 1\). 5. Необходимо найти длину отрезка \(AK\). **Решение:** 1. **Понять расположение точек:** - Так как \(E\) — середина \(CD\), то \(CE = ED = \frac{CD}{2}\). - Точка \(K\) делит сторону \(BC\) на два отрезка: \(BK = 5\) и \(CK = 1\). - Поскольку \(BC = BK + CK = 5 + 1 = 6\), мы можем определить точку \(K\) относительно \(B\). 2. **Используем прямоугольность:** - Угол \(AEK = 90^\circ\) говорит о том, что треугольник \(AEK\) — прямоугольный. - Это значит, что \(\triangle AEK\) — прямоугольный с гипотенузой \(AK\) и катетами \(AE\) и \(EK\). 3. **Определяем координаты точек на плоскости:** - Пусть прямая \(BC\) лежит на оси \(y\), значит \(B = (0, 0)\), \(C = (0, 6)\). - Тогда точка \(K = (0, 5)\). - Точка \(A\) на оси \(x\), например, \((x,0)\), так как \(A\) и \(B\) на одной линии. 4. **Определяем положение точки \(E\):** - Как середина \(CD\), точка \(E\) будет находиться на середине \(CD\). - Если \(C\) имеет координаты \((0, 6)\), а \(D\) — \((x, 6)\) (поскольку \(CD \parallel AB\)), то: \[ E = \left(\frac{x}{2}, 6\right) \] 5. **Определяем условия перпендикулярности:** - Так как \(\triangle AEK\) прямоугольный, векторы \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{EK}\) перпендикулярны. - Составляем векторы: \[ \overrightarrow{AE} = \left(\frac{x}{2} - x, 6 - 0\right) = \left(-\frac{x}{2}, 6\right) \] \[ \overrightarrow{EK} = \left(0 - \frac{x}{2}, 5 - 6\right) = \left(-\frac{x}{2}, -1\right) \] 6. **Применим условие перпендикулярности:** - Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EK} = \left(-\frac{x}{2}\right)\left(-\frac{x}{2}\right) + 6 \times (-1) = 0 \] \[ \frac{x^2}{4} - 6 = 0 \] \[ \frac{x^2}{4} = 6 \] \[ x^2 = 24 \] \[ x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] 7. **Найдём длину \(AK\):** - \(A = (x, 0) = (2\sqrt{6}, 0)\) - \(K = (0, 5)\) - Длина \(AK\): \[ AK = \sqrt{(2\sqrt{6} - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7 \] Итак, длина отрезка \(AK\) равна 7.