решение для 7 класса

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Условие:

1. Прямоугольник \(ABCD\).
2. \(E\) — середина стороны \(CD\).
3. На стороне \(BC\) есть точка \(K\), такая что угол \(AEK = 90^\circ\).
4. Дано \(BK = 5\) и \(CK = 1\).
5. Необходимо найти длину отрезка \(AK\).

Решение:

1. Понять расположение точек:

   • Так как \(E\) — середина \(CD\), то \(CE = ED = \frac{CD}{2}\).
   • Точка \(K\) делит сторону \(BC\) на два отрезка: \(BK = 5\) и \(CK = 1\).
   • Поскольку \(BC = BK + CK = 5 + 1 = 6\), мы можем определить точку \(K\) относительно \(B\).

2. Используем прямоугольность:

   • Угол \(AEK = 90^\circ\) говорит о том, что треугольник \(AEK\) — прямоугольный.
   • Это значит, что \(\triangle AEK\) — прямоугольный с гипотенузой \(AK\) и катетами \(AE\) и \(EK\).

3. Определяем координаты точек на плоскости:

   • Пусть прямая \(BC\) лежит на оси \(y\), значит \(B = (0, 0)\), \(C = (0, 6)\).
   • Тогда точка \(K = (0, 5)\).
   • Точка \(A\) на оси \(x\), например, \((x,0)\), так как \(A\) и \(B\) на одной линии.

4. Определяем положение точки \(E\):

   • Как середина \(CD\), точка \(E\) будет находиться на середине \(CD\).
   • Если \(C\) имеет координаты \((0, 6)\), а \(D\) — \((x, 6)\) (поскольку \(CD \parallel AB\)), то: \[ E = \left(\frac{x}{2}, 6\right) \]

5. Определяем условия перпендикулярности:

   • Так как \(\triangle AEK\) прямоугольный, векторы \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{EK}\) перпендикулярны.
   • Составляем векторы: \[ \overrightarrow{AE} = \left(\frac{x}{2} - x, 6 - 0\right) = \left(-\frac{x}{2}, 6\right) \] \[ \overrightarrow{EK} = \left(0 - \frac{x}{2}, 5 - 6\right) = \left(-\frac{x}{2}, -1\right) \]

6. Применим условие перпендикулярности:

   • Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EK} = \left(-\frac{x}{2}\right)\left(-\frac{x}{2}\right) + 6 \times (-1) = 0 \] \[ \frac{x^2}{4} - 6 = 0 \] \[ \frac{x^2}{4} = 6 \] \[ x^2 = 24 \] \[ x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

7. Найдём длину \(AK\):

   • \(A = (x, 0) = (2\sqrt{6}, 0)\)
   • \(K = (0, 5)\)
   • Длина \(AK\): \[ AK = \sqrt{(2\sqrt{6} - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7 \]

Итак, длина отрезка \(AK\) равна 7.