Реши

Чтобы найти длину \( MK \) в параллелограмме \( MNK \), воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике \( MNK \) известны длины двух сторон \( MN = 8 \) и \( NK = 8\sqrt{2} \), а также угол между ними \( \angle MNK = 135^\circ \).

Формула для теоремы косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \] где \( a \) и \( b \) — стороны треугольника, \( \gamma \) — угол между ними, и \( c \) — противоположная сторона (в данном случае \( MK \)).

Подставим известные значения: \[ MK^2 = 8^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) \]

\[ = 64 + 128 - 128\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ = 64 + 128 + 128 \]

\[ = 320 \]

Теперь найдем \( MK \) через квадратный корень: \[ MK = \sqrt{320} \]

Упростим выражение: \[ MK = \sqrt{64 \times 5} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{5} = 8\sqrt{5} \]

Таким образом, длина \( MK \) равна \( 8\sqrt{5} \). Правильный ответ: \( 8\sqrt{5} \).