Реши
Для решения данной системы уравнений методом алгебраического сложения проведем следующие шаги:
Система уравнений:
- \(x^2 - 2y^2 = -4\)
- \(x^2 + 2y^2 = 12\)
Шаг 1: Сложение уравнений
Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной \(y^2\):
\[ (x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12 \]
\[ 2x^2 = 8 \]
Шаг 2: Решение полученного уравнения
Разделим обе части на 2:
\[ x^2 = 4 \]
Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:
\[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Шаг 3: Подстановка найденных значений \(x\) обратно в уравнения
Если \(x = 2\):
Подставим в первое уравнение:
\[ 2^2 - 2y^2 = -4 \]
\[ 4 - 2y^2 = -4 \]
\[ -2y^2 = -8 \]
\[ y^2 = 4 \]
Извлекаем корень:
\[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \]
Таким образом, получаем решения:
- \( (2, 2) \)
- \( (2, -2) \)
Если \(x = -2\):
Подставим в первое уравнение:
\[ (-2)^2 - 2y^2 = -4 \]
\[ 4 - 2y^2 = -4 \]
\[ -2y^2 = -8 \]
\[ y^2 = 4 \]
Извлекаем корень:
\[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \]
Таким образом, получаем решения:
- \( (-2, 2) \)
- \( (-2, -2) \)
Ответ:
Система имеет четыре решения:
- \( (2, 2) \)
- \( (2, -2) \)
- \( (-2, 2) \)
- \( (-2, -2) \)
