Задумали трёхзначное число, первая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но вторую и третью цифру поменяли местами. Получили число  54. Найди все числа, обладающие таким свойством.

Для решения этой задачи, давай обозначим трехзначное число как \( xyz \), где \( x \), \( y \) и \( z \) — цифры числа, а \( x \) не может быть равной нулю (так как это трехзначное число). Данное число можно записать как: \[ N = 100x + 10y + z \] Теперь рассмотрим второе число, которое получается, если поменять местами вторую и третью цифры. Это число будет иметь вид: \[ M = 100x + 10z + y \] По условию задачи, из первого числа \( N \) вычитаем второе число \( M \) и получаем 54: \[ N - M = 54 \] Подставим выражения для \( N \) и \( M \): \[ (100x + 10y + z) - (100x + 10z + y) = 54 \] Упрощаем выражение: \[ 100x + 10y + z - 100x - 10z - y = 54 \] \[ 9y - 9z = 54 \] Теперь упростим это уравнение, разделив обе стороны на 9: \[ y - z = 6 \] Теперь мы знаем, что вторая цифра \( y \) больше третьей цифры \( z \) на 6. Значит, \( y \) может принимать значения, которые совместимы с правилом о том, что \( y \) и \( z \) — цифры от 0 до 9. Поскольку \( y \) не может превышать 9, давайте рассмотрим возможные варианты. Поскольку \( y = z + 6 \), мы можем определить возможные значения: - Если \( z = 0 \), тогда \( y = 0 + 6 = 6 \) → \( (y, z) = (6, 0) \) - Если \( z = 1 \), тогда \( y = 1 + 6 = 7 \) → \( (y, z) = (7, 1) \) - Если \( z = 2 \), тогда \( y = 2 + 6 = 8 \) → \( (y, z) = (8, 2) \) - Если \( z = 3 \), тогда \( y = 3 + 6 = 9 \) → \( (y, z) = (9, 3) \) Таким образом, возможные пары \( (y, z) \) — это: - \( (6, 0) \) - \( (7, 1) \) - \( (8, 2) \) - \( (9, 3) \) Далее, мы знаем, что \( x \) может быть любой цифрой от 1 до 9 (так как это первая цифра трехзначного числа). Теперь мы можем составить все возможные трехзначные числа: 1. Для \( (y, z) = (6, 0) \): - Возможные числа: \( 160, 260, 360, 460, 560, 660, 760, 860, 960 \) 2. Для \( (y, z) = (7, 1) \): - Возможные числа: \( 171, 271, 371, 471, 571, 671, 771, 871, 971 \) 3. Для \( (y, z) = (8, 2) \): - Возможные числа: \( 182, 282, 382, 482, 582, 682, 782, 882, 982 \) 4. Для \( (y, z) = (9, 3) \): - Возможные числа: \( 193, 293, 393, 493, 593, 693, 793, 893, 993 \) Итак, все числа, обладающие указанным свойством, это: - 160, 260, 360, 460, 560, 660, 760, 860, 960 - 171, 271, 371, 471, 571, 671, 771, 871, 971 - 182, 282, 382, 482, 582, 682, 782, 882, 982 - 193, 293, 393, 493, 593, 693, 793, 893, 993 Эти числа соответствуют условию задачи.