Найдите указанные производные: y = x^6 - 3x^4 + 3x^3 + 5x^2 y''

Чтобы найти вторую производную функции \( y = x^6 - 3x^4 + 3x^3 + 5x^2 \), следуем следующему пошаговому плану:

Шаг 1: Найдем первую производную \( y' \)

Первая производная функции \( y \) обозначается как \( y' \) и вычисляется с использованием правил дифференцирования.

Для каждой части функции мы будем использовать правило, что производная \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).

1. Для \( x^6 \):
   \[ \frac{d}{dx}(x^6) = 6x^5 \]

2. Для \( -3x^4 \):
   \[ \frac{d}{dx}(-3x^4) = -3 \cdot 4x^{4-1} = -12x^3 \]

3. Для \( 3x^3 \):
   \[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]

4. Для \( 5x^2 \):
   \[ \frac{d}{dx}(5x^2) = 5 \cdot 2x^{2-1} = 10x \]

Теперь, сложив все части, получим первую производную \( y' \): \[ y' = 6x^5 - 12x^3 + 9x^2 + 10x \]

Шаг 2: Найдем вторую производную \( y'' \)

Вторая производная \( y'' \) вычисляется, берем производную первой производной \( y' \):

1. Для \( 6x^5 \):
   \[ \frac{d}{dx}(6x^5) = 6 \cdot 5x^{5-1} = 30x^4 \]

2. Для \( -12x^3 \):
   \[ \frac{d}{dx}(-12x^3) = -12 \cdot 3x^{3-1} = -36x^2 \]

3. Для \( 9x^2 \):
   \[ \frac{d}{dx}(9x^2) = 9 \cdot 2x^{2-1} = 18x \]

4. Для \( 10x \):
   \[ \frac{d}{dx}(10x) = 10 \]

Теперь, сложив все части, получаем вторую производную \( y'' \): \[ y'' = 30x^4 - 36x^2 + 18x + 10 \]

Ответ

Вторая производная функции \( y = x^6 - 3x^4 + 3x^3 + 5x^2 \) равна: \[ y'' = 30x^4 - 36x^2 + 18x + 10 \]