Реши

Для решения задачи нужно определить, при каких значениях параметра \( k \) система уравнений не имеет решений. Рассмотрим данную систему: \[ \begin{cases} (k^2 + k + 1)x + 3y - 6 = 0, \\ x + y + k = 0. \end{cases} \] Чтобы система не имела решений, определитель матрицы коэффициентов должен быть равен нулю, и при этом правая часть не должна равняться нулю (иначе решений будет бесконечно много). **Шаг 1: Найдем определитель матрицы коэффициентов.** Коэффициенты перед \( x \) и \( y \) у нас следующие: \[ A = \begin{pmatrix} k^2 + k + 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Вычислим определитель матрицы \( A \): \[ \text{det}(A) = (k^2 + k + 1) \cdot 1 - 3 \cdot 1 = k^2 + k + 1 - 3 = k^2 + k - 2 \] Для отсутствия решений этот определитель должен равняться нулю: \[ k^2 + k - 2 = 0 \] Это квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9 \] \[ k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Таким образом, \( k_1 = 1 \) и \( k_2 = -2 \). **Шаг 2: Проверим совместность системы для найденных значений \( k \).** 1. **\( k = 1 \):** Подставим в систему: \[ \begin{cases} (1^2 + 1 + 1)x + 3y - 6 = 0, \\ x + y + 1 = 0. \end{cases} \] Упрощаем: \[ \begin{cases} 3x + 3y - 6 = 0, \\ x + y = -1. \end{cases} \] Перепишем первое уравнение: \( 3x + 3y = 6 \) или \( x + y = 2 \). Так как это противоречие (одно уравнение дает \( x + y = -1 \), а другое \( x + y = 2 \)), решений нет. 2. **\( k = -2 \):** Подставим в систему: \[ \begin{cases} ((-2)^2 - 2 + 1)x + 3y - 6 = 0, \\ x + y - 2 = 0. \end{cases} \] Упрощаем: \[ \begin{cases} 3x + 3y - 6 = 0, \\ x + y = 2. \end{cases} \] Перепишем первое уравнение: \( 3x + 3y = 6 \) или \( x + y = 2 \). Находим противоречие, аналогично предыдущему случаю. Оба значения \( k = 1 \) и \( k = -2 \) приводят к системам без решений. Произведение этих значений: \[ 1 \cdot (-2) = -2 \] Ответ: \( -2 \).