В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30⁰, равен 20 см. Найдите синус и тангенс другого острого угла этого треугольника
В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов равен 30°, нам нужно найти синус и тангенс другого острого угла. Давайте разберём это шаг за шагом.
Определение углов:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°. Если один из углов равен 30°, то другой острый угол будет равен: \[ 90° - 30° = 60° \]Определение сторон треугольника:
У нас есть катет, лежащий напротив угла в 30°, который равен 20 см. В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° выполняются следующие соотношения:- Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен \( x \).
- Гипотенуза равна \( 2x \).
- Катет, лежащий напротив угла в 60°, равен \( x\sqrt{3} \).
У нас \( x = 20 \) см:
- Гипотенуза: \[ 2x = 2 \times 20 = 40 \text{ см} \]
- Катет, лежащий напротив угла в 60°: \[ x\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ см} \]
Синус и тангенс угла в 60°:
Теперь можем вычислить:Синус угла в 60° определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(60°) = \frac{x\sqrt{3}}{2x} = \frac{20\sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Тангенс угла в 60° определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: \[ \tan(60°) = \frac{x\sqrt{3}}{x} = \sqrt{3} \]
Ответ:
Таким образом, для угла в 60° мы получили:
- \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \tan(60°) = \sqrt{3} \)
Это и есть искомые значения синуса и тангенса другого острого угла треугольника.
