В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30⁰, равен 20 см. Найдите синус и тангенс другого острого угла этого треугольника

В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов равен 30°, нам нужно найти синус и тангенс другого острого угла. Давайте разберём это шаг за шагом. 1. **Определение углов:** В прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°. Если один из углов равен 30°, то другой острый угол будет равен: \[ 90° - 30° = 60° \] 2. **Определение сторон треугольника:** У нас есть катет, лежащий напротив угла в 30°, который равен 20 см. В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° выполняются следующие соотношения: - Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен \( x \). - Гипотенуза равна \( 2x \). - Катет, лежащий напротив угла в 60°, равен \( x\sqrt{3} \). У нас \( x = 20 \) см: - Гипотенуза: \[ 2x = 2 \times 20 = 40 \text{ см} \] - Катет, лежащий напротив угла в 60°: \[ x\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ см} \] 3. **Синус и тангенс угла в 60°:** Теперь можем вычислить: - Синус угла в 60° определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(60°) = \frac{x\sqrt{3}}{2x} = \frac{20\sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Тангенс угла в 60° определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: \[ \tan(60°) = \frac{x\sqrt{3}}{x} = \sqrt{3} \] 4. **Ответ:** Таким образом, для угла в 60° мы получили: - \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \tan(60°) = \sqrt{3} \) Это и есть искомые значения синуса и тангенса другого острого угла треугольника.