Найти значение выражения

Для решения задачи подставим значения \(a = 4\) и \(b = 7\) в выражение:

\[ \frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^3b^8}} \]

Сначала упростим каждую часть выражения.

Шаг 1: Упростим числитель

1. \(\sqrt{25a^9}\):

   • \(\sqrt{25} = 5\)
   • \(\sqrt{a^9} = a^{9/2}\)

   Поэтому: \(\sqrt{25a^9} = 5a^{9/2}\)

2. \(\sqrt{16b^8}\):

   • \(\sqrt{16} = 4\)
   • \(\sqrt{b^8} = b^{8/2} = b^4\)

   Поэтому: \(\sqrt{16b^8} = 4b^4\)

Теперь числитель равен: \[ 5a^{9/2} \cdot 4b^4 = 20a^{9/2}b^4 \]

Шаг 2: Упростим знаменатель

\(\sqrt{a^3b^8}\):

• \(a^3\) остаётся без изменений
• \(\sqrt{b^8} = b^4\)

Поэтому: \(\sqrt{a^3b^8} = \sqrt{a^3} \cdot b^4 = a^{3/2}b^4\)

Шаг 3: Составляем итоговое упрощённое выражение

\[ \frac{20a^{9/2}b^4}{a^{3/2}b^4} \]

Можно сократить:

\[ =\frac{20a^{9/2}}{a^{3/2}} = 20a^{(9/2)-(3/2)} = 20a^{6/2} = 20a^3 \]

Теперь подставим \(a = 4\):

\[ 20 \cdot 4^3 = 20 \cdot 64 = 1280 \]

Следовательно, значение исходного выражения равно \(1280\).