Найти значение выражения

Для решения задачи подставим значения \(a = 4\) и \(b = 7\) в выражение: \[ \frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^3b^8}} \] Сначала упростим каждую часть выражения. ### Шаг 1: Упростим числитель 1. \(\sqrt{25a^9}\): - \(\sqrt{25} = 5\) - \(\sqrt{a^9} = a^{9/2}\) Поэтому: \(\sqrt{25a^9} = 5a^{9/2}\) 2. \(\sqrt{16b^8}\): - \(\sqrt{16} = 4\) - \(\sqrt{b^8} = b^{8/2} = b^4\) Поэтому: \(\sqrt{16b^8} = 4b^4\) Теперь числитель равен: \[ 5a^{9/2} \cdot 4b^4 = 20a^{9/2}b^4 \] ### Шаг 2: Упростим знаменатель \(\sqrt{a^3b^8}\): - \(a^3\) остаётся без изменений - \(\sqrt{b^8} = b^4\) Поэтому: \(\sqrt{a^3b^8} = \sqrt{a^3} \cdot b^4 = a^{3/2}b^4\) ### Шаг 3: Составляем итоговое упрощённое выражение \[ \frac{20a^{9/2}b^4}{a^{3/2}b^4} \] Можно сократить: \[ =\frac{20a^{9/2}}{a^{3/2}} = 20a^{(9/2)-(3/2)} = 20a^{6/2} = 20a^3 \] Теперь подставим \(a = 4\): \[ 20 \cdot 4^3 = 20 \cdot 64 = 1280 \] Следовательно, значение исходного выражения равно \(1280\).